Понедельник, 18.01.2021, 09:23
Ш  К  О  Л  А     П  И  Ф  А  Г  О  Р  А
      Предмет математики настолько серьезен, что нужно
не упускать случая, сделать его немного занимательным".
                                                                           Блез Паскаль
Главная | Регистрация | Вход Приветствую Вас Гость | RSS
ПАМЯТКИ ПО МАТЕМАТИКЕ   ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ   ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ   МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
УРОКИ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛЕ


МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КЛАДОВАЯ


В МИРЕ ЗАДАЧ
ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
МАТЕМАТИКА В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ
ВАРИ, КОТЕЛОК!
УДИВИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
В МИРЕ ИНТЕРЕСНОГО
Категории раздела
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ [63]
ПРЕПОДАЕМ АЛГЕБРУ И НАЧАЛА АНАЛИЗА В 11 КЛАССЕ [19]
Статистика

Онлайн всего: 5
Гостей: 5
Пользователей: 0
Форма входа

Главная » Файлы » МЕТОДИЧЕСКИЕ НАРАБОТКИ » ПРЕПОДАЕМ АЛГЕБРУ И НАЧАЛА АНАЛИЗА В 11 КЛАССЕ

Метод промежутков для уравнений и неравенств
07.10.2014, 19:15
      В этом параграфе для решения уравнений (неравенств) с модулями применяется введенное ранее понятие равносильности уравнений (неравенств) на множестве.

12.1. Уравнения с модулями

      В этом пункте учебника подробно разобран общий метод решения уравнений с модулями. Он проиллюстрирован различными примерами в п. 12.1 учебника и в п. 43 дидактических материалов.
      Напомним, что уравнения вида
| f (x) | = | g (x) |     (1)

можно также решать возведением в квадрат и переходом к уравнению f 2 (x) = g2 (x), равносильному уравнению (1) на том множестве, на котором определены обе функции f (x) и g (x).
      Уравнения вида
| f (x) | = g (x)     (2)

можно также решать возведением в квадрат и переходом к уравнению f 2 (x) = g2 (x), являющемуся следствием уравнения (2).
      В данном пункте учебника рассмотрены уравнения с модулями специального вида, приведено утверждение

|  f (x) | + | g (x) | = f (x) + g (x)  ⇔{ f(x)≥0 g(x)≥0.

      Очевидно, что использование этой равносильности существенно упрощает решение уравнений такого вида.
      Решения и комментарии
      Решите уравнение (12.3—12.9):
      12.3. а) | x2 + 4x + 2 | = x + 2.
      Решение. Следствием исходного уравнения является уравнение
(x2 + 4x + 2)2 = (x + 2)2.     (3)

      Перенеся все слагаемые уравнения (3) в одну часть уравнения, перепишем его в виде
(x2 + 4x + 2)2 − (x + 2)2 = 0.     (4)

      Применив формулу разности квадратов, перепишем уравнение (4) в виде
(x2 + 3x) (x2 + 5x + 4) = 0.     (5)

      Уравнение (5) имеет четыре корня: x1 = −4, x2 = −3, x3 = −1 и x4 = 0. Из них исходному уравнению удовлетворяют лишь числа x3 и x4. Следовательно, исходное уравнение имеет два корня: −1 и 0.
      12.4. а) | x2 − x − 1 | = x2 + 2x + 1.
      Решение. Так как для каждого x  ∈  R обе части уравнения неотрицательны, то исходное уравнение равносильно уравнению
(x2 − x − 1)2 = (x2 + 2x + 1)2.     (6)

      Перенеся все слагаемые уравнения (6) в одну часть уравнения, перепишем его в виде
(x2 − x − 1)2 − (x2 + 2x + 1)2 = 0.     (7)

      Применив формулу разности квадратов, перепишем уравнение (7) в виде
(−3x − 2) (2x2 + x) = 0.     (8)

      Уравнение (8) имеет три корня: x 1 =− 2 3 , x 2 =− 1 2 и x3 = 0. Следовательно, и равносильное ему исходное уравнение имеет те же три корня: − 2 3 , − 1 2 и 0.
      12.5.  а)   | 2x−4 |+| x−5 | | x−1 |+x−1 =1.
      Решение. Так как при каждом x ≤ 1 знаменатель дроби в левой части уравнения равен нулю, то все корни исходного уравнения принадлежат промежутку (1; +∞). Исходное уравнение равносильно на множестве М = (1; +∞) уравнению | 2x − 4 | + | x − 5 | = 2x − 2.
      Сначала решим уравнения 2x − 4 = 0 и x − 5 = 0 и отметим на координатной оси корни этих уравнений — числа 2 и 5 (рис. 82).

Рис. 82

      Числа 2 и 5 разбивают промежуток (1; +∞) на три промежутка: (1; 2), [2; 5] и (5; +∞).
      1)  На промежутке (1; 2) исходное уравнение равносильно уравнению
−2x + 4 − x + 5 = 2x − 2.     (9)

      Уравнение (9) имеет единственный корень x1 = 2,2, не принадлежащий промежутку (1; 2). Следовательно, на этом промежутке исходное уравнение не имеет корней.
      2)  На промежутке [2; 5] исходное уравнение равносильно уравнению
2x − 4 − x + 5 = 2x − 2.     (10)

      Уравнение (10) имеет единственный корень x2 = 3, принадлежащий промежутку [2; 5]. Следовательно, на этом промежутке исходное уравнение имеет тот же единственный корень.
      3)  На промежутке (5; +∞) исходное уравнение равносильно уравнению
2x − 4 + x − 5 = 2x − 2.     (11)

      Уравнение (11) имеет единственный корень x3 = 7, принадлежащий промежутку (5; +∞). Следовательно, на этом промежутке исходное уравнение имеет тот же единственный корень.
      Итак, исходное уравнение имеет два корня: 3 и 7.
      12.6.  а)   | x+1 | x+1 + | x+3 | x+3 =0.
      Решение. Все корни исходного уравнения принадлежат множеству тех x, для которых x + 1 ≠ 0 и x + 3 ≠ 0, т. е. множеству М всех чисел x, таких, что x ≠ −1, x ≠ −3. Теперь отметим на координатной оси числа −3 и −1 (рис. 83).

Рис. 83

      Числа −3 и −1 разбивают множество М на три промежутка: (−∞; −3), (−3; −1) и (−1; +∞).
      1)  Для каждого x из промежутка (−∞; −3) левая часть уравнения равна −2, поэтому уравнение не имеет корней на этом промежутке.
      2)  Для каждого x  ∈  (−3; −1) справедливы равенства
| x+1 | x+1 + | x+3 | x+3 =−1+1=0, поэтому каждое число из промежутка (−3; −1) является корнем исходного уравнения.
      3)  Для каждого x из промежутка (−1; +∞) левая часть уравнения равна 2, поэтому уравнение не имеет корней на этом промежутке.
      Итак, исходное уравнение имеет бесконечно много корней: каждое число x  ∈  (−3; −1) является корнем исходного уравнения.
      12.7. а) | 9 − 3x | + | x − 6 | = 3x − x + 9.
      Решение. Сначала решим уравнения 9 − 3x = 0 и x − 6 = 0 и отметим на координатной оси корни этих уравнений — числа 2 и 6 (рис. 84).

Рис. 84

      Числа 2 и 6 разбивают координатную ось на три промежутка: (−∞; 2), [2; 6] и (6; +∞).
      1)  На промежутке (−∞; 2) исходное уравнение равносильно уравнению
9 − 3x − x + 6 = 3x − x + 9.     (12)

      Уравнение (12) имеет единственный корень x1 = 1, принадлежащий промежутку (−∞; 2). Следовательно, на этом промежутке исходное уравнение имеет тот же единственный корень 1.
      2)  На промежутке [2; 6] исходное уравнение равносильно уравнению
−9 + 3x − x + 6 = 3x − x + 9.     (13)

      Уравнение (13) не имеет корней. Следовательно, на этом промежутке исходное уравнение также не имеет корней.
      3) На промежутке (6; +∞) исходное уравнение равносильно уравнению
−9 + 3x + x − 6 = 3x − x + 9.     (14)

      Уравнение (14) имеет единственный корень x2 = 12, принадлежащий промежутку (6; +∞). Следовательно, на этом промежутке исходное уравнение имеет тот же единственный корень 12.
      Итак, исходное уравнение имеет два корня: 1 и 12.
      12.9.  а)   | sin⁡x− 1 2 |+| cos⁡x− 3 2 |=sin⁡x+cos⁡x− 1+ 3 2 .
      Решение. Исходное уравнение имеет вид | f (x) | + | g (x) | =
= f (x) + g (x), где f(x)=sin⁡x− 1 2 , g(x)=cos⁡x− 3 2 . Оно равносильно системе
{ sin⁡x− 1 2 ≥0 cos⁡x− 3 2 ≥0,
которую можно переписать в виде системы неравенств:
{ sin⁡x≥ 1 2 cos⁡x≥ 3 2 .    

(15)

(16)

      Все решения неравенства (15) составляют серию отрезков [ π 6 +2πk;  5π 6 +2πk ], k  ∈  Z, а все решения неравенства (16) составляют серию отрезков [ − π 6 +2πn;  π 6 +2πn ], n  ∈  Z. В обе эти серии входит лишь одна серия решений π 6 +2πk, k  ∈  Z (рис. 85).


Рис. 85

      Следовательно, система неравенств (15) и (16), а значит, и равносильное ей исходное уравнение имеют одну серию решений π 6 +2πk, k  ∈  Z.

12.2. Неравенства с модулями

      В этом пункте учебника подробно разобран общий метод решения неравенств с модулями, он проиллюстрирован на различных примерах в п. 12.2 учебника и в п. 43 дидактических материалов.
      Напомним, что неравенства вида
| f (x) | > | g (x) |     (1)

можно также решать возведением в квадрат и переходом к неравенству (f (x))2 > (g (x))2, равносильному неравенству (1) на том множестве, на котором определены обе функции f (x) и g (x).
      Решения и комментарии
      Решите неравенство (12.15—12.16):
      12.15. а) 2 | x | (x2 − 4x + 3) + x | x2 − 4x + 3 | > 0.
      Решение. Сначала решим уравнения x = 0 и x2 − 4x + 3 = 0 и отметим на координатной оси корни этих уравнений — числа 0, 1 и 3. Эти три числа не являются решениями исходного неравенства. В этом примере полезно рассмотреть функции f (x) = x и g (x) = x2 − 4x + 3, определить промежутки их знакопостоянства (рис. 86).

Рис. 86

      1)  На интервале (−∞; 0) исходное неравенство равносильно неравенству −x (x2 − 4x + 3) > 0, которое справедливо в каждой точке этого промежутка. Следовательно, каждое число x из промежутка (−∞; 0) является решением исходного неравенства.
      2)  На каждом из промежутков (0; 1) и (3; +∞) исходное неравенство равносильно неравенству 3x (x2 − 4x + 3) > 0, и оно справедливо для каждого числа x из этих двух промежутков. Следовательно, каждое число x из промежутков (0; 1) и (3; +∞) является решением исходного неравенства.
      3)  На промежутке (1; 3) исходное неравенство равносильно неравенству

x (x2 − 4x + 3) > 0,

которое не имеет решений на этом промежутке.
      Итак, все решения исходного неравенства составляют три промежутка: (−∞; 0), (0; 1) и (3; +∞).
      12.16. а) (x + 2) · 22 − | x − 2 | − x < (x + 1) · | 2x − 1 | + 2x + 1.
      Решение. Сначала решим уравнения x − 2 = 0 и 2x − 1 = 0 и отметим на координатной оси корни этих уравнений — числа 0 и 2 (рис. 87).

Рис. 87

      1)  На промежутке (−∞; 0) исходное неравенство равносильно неравенству
(x + 1) (2x − 1) < 0.     (2)

      Так как 2x − 1 < 0 в любой точке промежутка (−∞; 0), то, умножив неравенство (2) на функцию φ(x)= 1 2 x −1 , получим, что неравенство (2) равносильно на этом промежутке неравенству x + 1 > 0, все решения которого составляют промежуток (−1; +∞). Из этих чисел промежутку (−∞; 0) принадлежат лишь все x из промежутка (−1; 0). Все эти числа являются решениями исходного неравенства на промежутке (−∞; 0).
      2)  На промежутке [0; 2] исходное неравенство равносильно неравенству (x + 2) 2x < (x + 2) 2x, которое не имеет решений. Следовательно, и равносильное ему на этом промежутке исходное неравенство также не имеет решений, принадлежащих промежутку [0; 2].
      3)  На промежутке (2; +∞) исходное неравенство равносильно неравенству
(x + 2) (24 − x − 2x) < 0.     (3)

      Так как x + 2 > 0 и 24 − x − 2x < 0 в любой точке промежутка (2; +∞), то неравенство (3) справедливо в любой точке промежутка (2; +∞), т. е. все эти числа являются решениями исходного неравенства на промежутке (2; +∞).
      Итак, все решения исходного неравенства составляют два промежутка: (−1; 0) и (2; +∞).
      Дополнения
        1.  Для неравенств с модулями специального вида справедливо утверждение

      | f (x) | + | g (x) | ≤ f (x) + g (x) ⇔{ f(x)≥0 g(x)≥0.

      Пример 1. Решим неравенство
| x2 − 4x + 3 | + | x − 4 | − x2 + 5x − 7 ≤ 0.     (4)

      Решение. Перепишем неравенство в виде
| x2 − 4x + 3 | + | 4 − x | ≤ (x2 − 4x + 3) + (4 − x).     (5)

      По приведенному утверждению неравенство (5) равносильно системе
{ x 3 −4x+3≥0 4−x≥0.     (6)

      Все решения системы (6) составляют два промежутка: (−∞; 1] и [3; 4]. Следовательно, множество решений неравенства (4), равносильного системе (6), есть множество (−∞; 1]  ∪  [3; 4].
      Дополнительное задание. Решите неравенство:
      а)  | x2 − 7x + 10 | + | x − 3 | − x2 + 8x − 13 ≤ 0;
      б)  | 2x − 8 | + | x − 4 | − 2x + x + 4 ≤ 0;
      в)  | 3x + 1 − 9 | + | lg x − 1 | − 3x + 1 + lg x + 8 ≤ 0.
      Ответ. а)  (−∞; 2]; б)  [3; 4]; в)  [1; 10].
        2.  В тех случаях, когда при освобождении неравенства от знака модуля координатная ось разбивается на бесконечное множество промежутков, бывает полезно перейти к совокупности систем, равносильной исходному неравенству. Проиллюстрируем это на примере.
      Пример 2. Решим неравенство
| sin x | + sin x (x2 − 7x + 11) < 0.     (7)

      Решение. Ни одно из чисел x, для которого верно равенство sin x = 0, не является решением неравенства (7). Следовательно, неравенство (7) равносильно совокупности двух систем:
{ sin⁡x>0 1+ x 2 −7x+11<0     (8)

и
{ sin⁡x<0 −1+ x 2 −7x+11>0.     (9)

      Второе неравенство системы (8) имеет множество решений (3; 4). Из них первому неравенству этой системы удовлетворяют лишь x из промежутка (3; π) (рис. 88). Следовательно, система (8) имеет множество решений (3; π).

Рис. 88

      Второе неравенство системы (9) имеет множество решений (−∞;2)∪(5;+∞), а первое неравенство этой системы — серию промежутков (π + 2πn; 2π + 2πn), n  ∈  Z. Следовательно, система (9) имеет множество решений: интервал (5; 2π) и серию интервалов (π + 2πn; 2π + 2πn), n  ∈  Z, n ≠ 0 (рис. 89).

Рис. 89

      Итак, множество решений неравенства (7) состоит из интервалов (3; π) и (5; 2π) и серии интервалов (π + 2πn; 2π + 2πn), n  ∈  Z, n ≠ 0.
      Дополнительное задание. Решите неравенство:
      а)  | cos x | − cos x (x2 − 5x + 5) ≥ 0;
      б)  2 | sin x | + sin x (x2 − x − 4) ≤ 0;
      в)  2 | cos x | − cos x (x2 + x − 4) ≥ 0.
      Ответ. а) [ π 2 +2πn;  3π 2 +2πn ], n  ∈  Z, n ≠ 0; [ π 2 +2 ]; [ 3;  3π 2 ]; б)  [−π + 2πn; 2πn], n  ∈  Z, n ≠ 0; [−π; −2]; [0; 2];
в)   [ − 3π 2 +2πn; − π 2 +2πn ], n  ∈  Z, n ≠ 0; [ − 3π 2 ; −2 ]; [ − π 2 ;  π 2 ] .
      Промежуточный контроль. С—43.

12.3. Метод интервалов для непрерывных функций

      В этом пункте учебника разобран метод интервалов решения неравенств. Обратим внимание на то, что до сих пор метод интервалов применялся для решения тех неравенств, левая часть которых — алгебраическая дробь (напомним, что многочлен — частный случай алгебраической дроби), а правая часть неравенства — нуль. При этом метод решения неравенств существенно опирался на свойство двучлена сохранять знак на промежутках правее и левее числа, обращающего этот двучлен в нуль. Непрерывность функции при этом явно не использовалась.
      Для решения произвольных неравенств вида f (x)  ∨  0, где ∨  — один из четырех знаков неравенства (>, < , ≥ , ≤), применяется метод решения, который подробно рассмотрен в учебнике, кратко описан ниже и демонстрируется на примерах. Он опирается на свойство функции, непрерывной на каждом интервале своей области определения, не содержащем нулей этой функции, сохранять на нем знак.
      Метод интервалов решения неравенства
f (x) ∨ 0,     (1)

где ∨  — один из четырех знаков неравенства (>, < , ≥ , ≤), должен содержать следующие шаги:
      1)  Найти область существования D (f) функции f (x).
      2)  Проверить, являются ли концы промежутков, составляющих множество D (f), решениями неравенства (1).
      3)  Найти нули функции f (x) и проверить, являются ли они решениями неравенства (1).
      4)  Исключив концы промежутков и нули функции f (x) из D (f), решить неравенство (1) на полученном множестве, состоящем из интервалов.
      5)  Объединить все решения, найденные в пп. 2—4.
      Полученное множество и будет множеством всех решений неравенства (1).
      Пример 1. Решим неравенство
10 16− x 2 ( x 2 −4) x 2 +x−6 >0.     (2)

      Решение. Рассмотрим функцию f(x) =  10 16− x 2 ( x 2 −4) x 2 +x−6 .
      1)  Ее область существования D (f ) определяется условиями 16 − x2 ≥ 0, x2 + x − 6 ≠ 0, т. е. D (f ) = [−4; −3)  ∪  (−3; 2)  ∪  (2; 4].
      2)  Проверим, являются ли концы промежутков, входящих в D (f ), — числа −4 и 4 — решениями неравенства (2). Так как f(−4)= 10 0 (16−4) 16−4−6 =2>0 , f(4)= 10 0 (16−4) 16+4−6 = 6 7 >0,
то числа −4 и 4 являются решениями неравенства (2).
      3)  Функция f (x) имеет единственный нуль при x1 = −2, это число не является решением неравенства (2).
      4)  Исключив −4 и 4 (концы промежутков) и −2 (нуль функции f (x)) из D (f ), решим неравенство (2) на полученном множестве, состоящем из интервалов. Для этого определим знак функции f (x) на каждом из интервалов: (−4; −3), (−3; −2), (−2; 2), (2; 4), заполнив таблицу.


      Решения неравенства (2) составляют три интервала: (−4; −3), (−2; 2) и (2; 4).
      5)  Объединив найденные решения, найдем, что множество всех решений неравенства (1) состоит из трех промежутков: [−4;−3)∪(−2;2)∪(2;4] .
      Пример 2. Решим неравенство
10 16− x 2 ( x 2 −4) x 2 +x−6 ≥0.     (3)

      Решение. Все решения неравенства (2) являются решениями неравенства (3), кроме них, неравенство (3) имеет еще одно решение: нуль функции f (x) — число −2. Следовательно, множество всех решений неравенства (3) состоит из трех промежутков: [−4; −3)  ∪  [−2; 2)  ∪  (2; 4].
      Решения и комментарии
      Решите неравенство (12.19—12.22):
      12.19.  а)   ( 2 x −8)(lg⁡x−1) ( log⁡ 1 2 x+1) 12−x >0.
      Решение. Рассмотрим функцию f (x ) =  ( 2 x −8)(lg⁡x−1) ( log⁡ 1 2 x+1) 12−x .
      Ее область существования D (f ) определяется условиями x > 0, log⁡ 1 2 x≠ −1, 12 − x > 0, т. е. D (f ) = (0; 2)  ∪  (2; 12).
      Функция f (x) имеет два нуля: x1 = 3 и x2 = 10, но эти числа не являются решениями исходного неравенства.
      Исключив числа x1 и x2 из D (f ), решим исходное неравенство на полученном множестве М, состоящем из интервалов (0; 2), (2; 3), (3; 10), (10; 12). Для этого определим знак функции f (x) на каждом из интервалов, заполнив таблицу.

      Решения исходного неравенства на множестве М составляют два интервала: (0; 2), (3; 10). Так как других решений исходное неравенство не имеет, то эти два промежутка и составляют множество решений исходного неравенства: (0; 2)  ∪  (3; 10).
      12.22.  а)   2 x−1 +6⋅ 4 x +1 3⋅ 4 x −10⋅ 2 x−1 −28 ≥−1.
      Решение. Перенеся все слагаемые в левую часть уравнения, сложив полученные дроби и разложив на множители числитель и знаменатель полученной дроби, получим неравенство
2( 2 x +1,5)( 2 x −2) 3( 2 x −4)( 2 x + 7 3 ) ≥0,     (4)

равносильное исходному неравенству.
      Так как функция φ(x)= 3( 2 x + 7 3 ) 2( 2 x +1,5) определена и положительна для каждого x  ∈  R, то, умножив неравенство (4) на функцию φ (x), получим, что неравенство (4) равносильно неравенству
2 x −2 2 x −4 ≥0.     (5)

      Рассмотрим функцию φ(x)= 2 x −2 2 x −4 .
      Ее область существования D (f ) определяется условием 2x − 4 ≠ 0, т. е. D (f ) = (−∞; 2)  ∪  (2; +∞).
      Функция f (x) имеет единственный нуль — число x1 = 1, это число является решением неравенства (5).
      Исключив нуль функции f (x) из D (f ), решим неравенство
2 x −2 2 x −4 >0     (6)

на полученном множестве М, состоящем из интервалов (−∞; 1), (1; 2), (2; +∞). Для этого определим знак функции f (x) на каждом из интервалов, заполнив таблицу.


      Решения неравенства (6) на множестве М составляют два интервала: (−∞; 1) и (2; +∞).
      Объединив полученные решения, найдем, что множество всех решений неравенства (5), а значит, и равносильного ему исходного неравенства состоит из двух промежутков: (−∞; 1]  ∪  (2; +∞).
Категория: ПРЕПОДАЕМ АЛГЕБРУ И НАЧАЛА АНАЛИЗА В 11 КЛАССЕ | Добавил: admin | Теги: МО учителей математики, обучение математики, математика в школе, из опыта работы учителя математики
Просмотров: 982 | Загрузок: 0 | Рейтинг: 0.0/0
УЧИТЕЛЮ ИНФОРМАТИКИ
КОНСПЕКТЫ УРОКОВ
ВНЕКЛАССНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ПОСОБИЯ И МЕТОДИЧКИ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ЗАДАНИЯ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ


ИНФОРМАТИКА В ШКОЛЕ


ИНФОРМАТИКА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ
ИНФОРМАТИКА В 3 КЛАССЕ
ИНФОРМАТИКА В 4 КЛАССЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 3 КЛАСС
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 4 КЛАСС
ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДЛЯ ДЕТЕЙ
СКАЗКА "ПРИКЛЮЧЕНИЯ ЭЛЕКТРОШИ"
ИГРОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ НА УРОКАХ ИНФОРМАТИКИ
ИГРОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ВИКТОРИНЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ
КОМПЬЮТЕРНЫЕ ЧАСТУШКИ
ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ
Поиск


Друзья сайта
  • Создать сайт
  • Все для веб-мастера
  • Программы для всех
  • Мир развлечений
  • Лучшие сайты Рунета
  • Кулинарные рецепты

  • Copyright MyCorp © 2021
    Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru