В этом параграфе для решения уравнений (неравенств) с модулями применяется введенное ранее понятие равносильности уравнений (неравенств) на множестве.
12.1. Уравнения с модулями
В этом пункте учебника подробно разобран общий метод решения уравнений с модулями. Он проиллюстрирован различными примерами в п. 12.1 учебника и в п. 43 дидактических материалов. Напомним, что уравнения вида | f (x) | = | g (x) | (1)
можно также решать возведением в квадрат и переходом к уравнению f 2 (x) = g2 (x), равносильному уравнению (1) на том множестве, на котором определены обе функции f (x) и g (x). Уравнения вида | f (x) | = g (x) (2)
можно также решать возведением в квадрат и переходом к уравнению f 2 (x) = g2 (x), являющемуся следствием уравнения (2). В данном пункте учебника рассмотрены уравнения с модулями специального вида, приведено утверждение
| f (x) | + | g (x) | = f (x) + g (x) ⇔{ f(x)≥0 g(x)≥0.
Очевидно, что использование этой равносильности существенно упрощает решение уравнений такого вида. Решения и комментарии Решите уравнение (12.3—12.9): 12.3. а) | x2 + 4x + 2 | = x + 2. Решение. Следствием исходного уравнения является уравнение (x2 + 4x + 2)2 = (x + 2)2. (3)
Перенеся все слагаемые уравнения (3) в одну часть уравнения, перепишем его в виде (x2 + 4x + 2)2 − (x + 2)2 = 0. (4)
Применив формулу разности квадратов, перепишем уравнение (4) в виде (x2 + 3x) (x2 + 5x + 4) = 0. (5)
Уравнение (5) имеет четыре корня: x1 = −4, x2 = −3, x3 = −1 и x4 = 0. Из них исходному уравнению удовлетворяют лишь числа x3 и x4. Следовательно, исходное уравнение имеет два корня: −1 и 0. 12.4. а) | x2 − x − 1 | = x2 + 2x + 1. Решение. Так как для каждого x ∈ R обе части уравнения неотрицательны, то исходное уравнение равносильно уравнению (x2 − x − 1)2 = (x2 + 2x + 1)2. (6)
Перенеся все слагаемые уравнения (6) в одну часть уравнения, перепишем его в виде (x2 − x − 1)2 − (x2 + 2x + 1)2 = 0. (7)
Применив формулу разности квадратов, перепишем уравнение (7) в виде (−3x − 2) (2x2 + x) = 0. (8)
Уравнение (8) имеет три корня: x 1 =− 2 3 , x 2 =− 1 2 и x3 = 0. Следовательно, и равносильное ему исходное уравнение имеет те же три корня: − 2 3 , − 1 2 и 0. 12.5. а) | 2x−4 |+| x−5 | | x−1 |+x−1 =1. Решение. Так как при каждом x ≤ 1 знаменатель дроби в левой части уравнения равен нулю, то все корни исходного уравнения принадлежат промежутку (1; +∞). Исходное уравнение равносильно на множестве М = (1; +∞) уравнению | 2x − 4 | + | x − 5 | = 2x − 2. Сначала решим уравнения 2x − 4 = 0 и x − 5 = 0 и отметим на координатной оси корни этих уравнений — числа 2 и 5 (рис. 82).
Рис. 82
Числа 2 и 5 разбивают промежуток (1; +∞) на три промежутка: (1; 2), [2; 5] и (5; +∞). 1) На промежутке (1; 2) исходное уравнение равносильно уравнению −2x + 4 − x + 5 = 2x − 2. (9)
Уравнение (9) имеет единственный корень x1 = 2,2, не принадлежащий промежутку (1; 2). Следовательно, на этом промежутке исходное уравнение не имеет корней. 2) На промежутке [2; 5] исходное уравнение равносильно уравнению 2x − 4 − x + 5 = 2x − 2. (10)
Уравнение (10) имеет единственный корень x2 = 3, принадлежащий промежутку [2; 5]. Следовательно, на этом промежутке исходное уравнение имеет тот же единственный корень. 3) На промежутке (5; +∞) исходное уравнение равносильно уравнению 2x − 4 + x − 5 = 2x − 2. (11)
Уравнение (11) имеет единственный корень x3 = 7, принадлежащий промежутку (5; +∞). Следовательно, на этом промежутке исходное уравнение имеет тот же единственный корень. Итак, исходное уравнение имеет два корня: 3 и 7. 12.6. а) | x+1 | x+1 + | x+3 | x+3 =0. Решение. Все корни исходного уравнения принадлежат множеству тех x, для которых x + 1 ≠ 0 и x + 3 ≠ 0, т. е. множеству М всех чисел x, таких, что x ≠ −1, x ≠ −3. Теперь отметим на координатной оси числа −3 и −1 (рис. 83).
Рис. 83
Числа −3 и −1 разбивают множество М на три промежутка: (−∞; −3), (−3; −1) и (−1; +∞). 1) Для каждого x из промежутка (−∞; −3) левая часть уравнения равна −2, поэтому уравнение не имеет корней на этом промежутке. 2) Для каждого x ∈ (−3; −1) справедливы равенства | x+1 | x+1 + | x+3 | x+3 =−1+1=0, поэтому каждое число из промежутка (−3; −1) является корнем исходного уравнения. 3) Для каждого x из промежутка (−1; +∞) левая часть уравнения равна 2, поэтому уравнение не имеет корней на этом промежутке. Итак, исходное уравнение имеет бесконечно много корней: каждое число x ∈ (−3; −1) является корнем исходного уравнения. 12.7. а) | 9 − 3x | + | x − 6 | = 3x − x + 9. Решение. Сначала решим уравнения 9 − 3x = 0 и x − 6 = 0 и отметим на координатной оси корни этих уравнений — числа 2 и 6 (рис. 84).
Рис. 84
Числа 2 и 6 разбивают координатную ось на три промежутка: (−∞; 2), [2; 6] и (6; +∞). 1) На промежутке (−∞; 2) исходное уравнение равносильно уравнению 9 − 3x − x + 6 = 3x − x + 9. (12)
Уравнение (12) имеет единственный корень x1 = 1, принадлежащий промежутку (−∞; 2). Следовательно, на этом промежутке исходное уравнение имеет тот же единственный корень 1. 2) На промежутке [2; 6] исходное уравнение равносильно уравнению −9 + 3x − x + 6 = 3x − x + 9. (13)
Уравнение (13) не имеет корней. Следовательно, на этом промежутке исходное уравнение также не имеет корней. 3) На промежутке (6; +∞) исходное уравнение равносильно уравнению −9 + 3x + x − 6 = 3x − x + 9. (14)
Уравнение (14) имеет единственный корень x2 = 12, принадлежащий промежутку (6; +∞). Следовательно, на этом промежутке исходное уравнение имеет тот же единственный корень 12. Итак, исходное уравнение имеет два корня: 1 и 12. 12.9. а) | sinx− 1 2 |+| cosx− 3 2 |=sinx+cosx− 1+ 3 2 . Решение. Исходное уравнение имеет вид | f (x) | + | g (x) | = = f (x) + g (x), где f(x)=sinx− 1 2 , g(x)=cosx− 3 2 . Оно равносильно системе { sinx− 1 2 ≥0 cosx− 3 2 ≥0, которую можно переписать в виде системы неравенств: { sinx≥ 1 2 cosx≥ 3 2 .
(15)
(16)
Все решения неравенства (15) составляют серию отрезков [ π 6 +2πk; 5π 6 +2πk ], k ∈ Z, а все решения неравенства (16) составляют серию отрезков [ − π 6 +2πn; π 6 +2πn ], n ∈ Z. В обе эти серии входит лишь одна серия решений π 6 +2πk, k ∈ Z (рис. 85).
Рис. 85
Следовательно, система неравенств (15) и (16), а значит, и равносильное ей исходное уравнение имеют одну серию решений π 6 +2πk, k ∈ Z.
12.2. Неравенства с модулями
В этом пункте учебника подробно разобран общий метод решения неравенств с модулями, он проиллюстрирован на различных примерах в п. 12.2 учебника и в п. 43 дидактических материалов. Напомним, что неравенства вида | f (x) | > | g (x) | (1)
можно также решать возведением в квадрат и переходом к неравенству (f (x))2 > (g (x))2, равносильному неравенству (1) на том множестве, на котором определены обе функции f (x) и g (x). Решения и комментарии Решите неравенство (12.15—12.16): 12.15. а) 2 | x | (x2 − 4x + 3) + x | x2 − 4x + 3 | > 0. Решение. Сначала решим уравнения x = 0 и x2 − 4x + 3 = 0 и отметим на координатной оси корни этих уравнений — числа 0, 1 и 3. Эти три числа не являются решениями исходного неравенства. В этом примере полезно рассмотреть функции f (x) = x и g (x) = x2 − 4x + 3, определить промежутки их знакопостоянства (рис. 86).
Рис. 86
1) На интервале (−∞; 0) исходное неравенство равносильно неравенству −x (x2 − 4x + 3) > 0, которое справедливо в каждой точке этого промежутка. Следовательно, каждое число x из промежутка (−∞; 0) является решением исходного неравенства. 2) На каждом из промежутков (0; 1) и (3; +∞) исходное неравенство равносильно неравенству 3x (x2 − 4x + 3) > 0, и оно справедливо для каждого числа x из этих двух промежутков. Следовательно, каждое число x из промежутков (0; 1) и (3; +∞) является решением исходного неравенства. 3) На промежутке (1; 3) исходное неравенство равносильно неравенству
x (x2 − 4x + 3) > 0,
которое не имеет решений на этом промежутке. Итак, все решения исходного неравенства составляют три промежутка: (−∞; 0), (0; 1) и (3; +∞). 12.16. а) (x + 2) · 22 − | x − 2 | − x < (x + 1) · | 2x − 1 | + 2x + 1. Решение. Сначала решим уравнения x − 2 = 0 и 2x − 1 = 0 и отметим на координатной оси корни этих уравнений — числа 0 и 2 (рис. 87).
Так как 2x − 1 < 0 в любой точке промежутка (−∞; 0), то, умножив неравенство (2) на функцию φ(x)= 1 2 x −1 , получим, что неравенство (2) равносильно на этом промежутке неравенству x + 1 > 0, все решения которого составляют промежуток (−1; +∞). Из этих чисел промежутку (−∞; 0) принадлежат лишь все x из промежутка (−1; 0). Все эти числа являются решениями исходного неравенства на промежутке (−∞; 0). 2) На промежутке [0; 2] исходное неравенство равносильно неравенству (x + 2) 2x < (x + 2) 2x, которое не имеет решений. Следовательно, и равносильное ему на этом промежутке исходное неравенство также не имеет решений, принадлежащих промежутку [0; 2]. 3) На промежутке (2; +∞) исходное неравенство равносильно неравенству (x + 2) (24 − x − 2x) < 0. (3)
Так как x + 2 > 0 и 24 − x − 2x < 0 в любой точке промежутка (2; +∞), то неравенство (3) справедливо в любой точке промежутка (2; +∞), т. е. все эти числа являются решениями исходного неравенства на промежутке (2; +∞). Итак, все решения исходного неравенства составляют два промежутка: (−1; 0) и (2; +∞). Дополнения 1. Для неравенств с модулями специального вида справедливо утверждение
| f (x) | + | g (x) | ≤ f (x) + g (x) ⇔{ f(x)≥0 g(x)≥0.
Решение. Перепишем неравенство в виде | x2 − 4x + 3 | + | 4 − x | ≤ (x2 − 4x + 3) + (4 − x). (5)
По приведенному утверждению неравенство (5) равносильно системе { x 3 −4x+3≥0 4−x≥0. (6)
Все решения системы (6) составляют два промежутка: (−∞; 1] и [3; 4]. Следовательно, множество решений неравенства (4), равносильного системе (6), есть множество (−∞; 1] ∪ [3; 4]. Дополнительное задание. Решите неравенство: а) | x2 − 7x + 10 | + | x − 3 | − x2 + 8x − 13 ≤ 0; б) | 2x − 8 | + | x − 4 | − 2x + x + 4 ≤ 0; в) | 3x + 1 − 9 | + | lg x − 1 | − 3x + 1 + lg x + 8 ≤ 0. Ответ. а) (−∞; 2]; б) [3; 4]; в) [1; 10]. 2. В тех случаях, когда при освобождении неравенства от знака модуля координатная ось разбивается на бесконечное множество промежутков, бывает полезно перейти к совокупности систем, равносильной исходному неравенству. Проиллюстрируем это на примере. Пример 2. Решим неравенство | sin x | + sin x (x2 − 7x + 11) < 0. (7)
Решение. Ни одно из чисел x, для которого верно равенство sin x = 0, не является решением неравенства (7). Следовательно, неравенство (7) равносильно совокупности двух систем: { sinx>0 1+ x 2 −7x+11<0 (8)
и { sinx<0 −1+ x 2 −7x+11>0. (9)
Второе неравенство системы (8) имеет множество решений (3; 4). Из них первому неравенству этой системы удовлетворяют лишь x из промежутка (3; π) (рис. 88). Следовательно, система (8) имеет множество решений (3; π).
Рис. 88
Второе неравенство системы (9) имеет множество решений (−∞;2)∪(5;+∞), а первое неравенство этой системы — серию промежутков (π + 2πn; 2π + 2πn), n ∈ Z. Следовательно, система (9) имеет множество решений: интервал (5; 2π) и серию интервалов (π + 2πn; 2π + 2πn), n ∈ Z, n ≠ 0 (рис. 89).
Рис. 89
Итак, множество решений неравенства (7) состоит из интервалов (3; π) и (5; 2π) и серии интервалов (π + 2πn; 2π + 2πn), n ∈ Z, n ≠ 0. Дополнительное задание. Решите неравенство: а) | cos x | − cos x (x2 − 5x + 5) ≥ 0; б) 2 | sin x | + sin x (x2 − x − 4) ≤ 0; в) 2 | cos x | − cos x (x2 + x − 4) ≥ 0. Ответ. а) [ π 2 +2πn; 3π 2 +2πn ], n ∈ Z, n ≠ 0; [ π 2 +2 ]; [ 3; 3π 2 ]; б) [−π + 2πn; 2πn], n ∈ Z, n ≠ 0; [−π; −2]; [0; 2]; в) [ − 3π 2 +2πn; − π 2 +2πn ], n ∈ Z, n ≠ 0; [ − 3π 2 ; −2 ]; [ − π 2 ; π 2 ] . Промежуточный контроль. С—43.
12.3. Метод интервалов для непрерывных функций
В этом пункте учебника разобран метод интервалов решения неравенств. Обратим внимание на то, что до сих пор метод интервалов применялся для решения тех неравенств, левая часть которых — алгебраическая дробь (напомним, что многочлен — частный случай алгебраической дроби), а правая часть неравенства — нуль. При этом метод решения неравенств существенно опирался на свойство двучлена сохранять знак на промежутках правее и левее числа, обращающего этот двучлен в нуль. Непрерывность функции при этом явно не использовалась. Для решения произвольных неравенств вида f (x) ∨ 0, где ∨ — один из четырех знаков неравенства (>, < , ≥ , ≤), применяется метод решения, который подробно рассмотрен в учебнике, кратко описан ниже и демонстрируется на примерах. Он опирается на свойство функции, непрерывной на каждом интервале своей области определения, не содержащем нулей этой функции, сохранять на нем знак. Метод интервалов решения неравенства f (x) ∨ 0, (1)
где ∨ — один из четырех знаков неравенства (>, < , ≥ , ≤), должен содержать следующие шаги: 1) Найти область существования D (f) функции f (x). 2) Проверить, являются ли концы промежутков, составляющих множество D (f), решениями неравенства (1). 3) Найти нули функции f (x) и проверить, являются ли они решениями неравенства (1). 4) Исключив концы промежутков и нули функции f (x) из D (f), решить неравенство (1) на полученном множестве, состоящем из интервалов. 5) Объединить все решения, найденные в пп. 2—4. Полученное множество и будет множеством всех решений неравенства (1). Пример 1. Решим неравенство 10 16− x 2 ( x 2 −4) x 2 +x−6 >0. (2)
Решение. Рассмотрим функцию f(x) = 10 16− x 2 ( x 2 −4) x 2 +x−6 . 1) Ее область существования D (f ) определяется условиями 16 − x2 ≥ 0, x2 + x − 6 ≠ 0, т. е. D (f ) = [−4; −3) ∪ (−3; 2) ∪ (2; 4]. 2) Проверим, являются ли концы промежутков, входящих в D (f ), — числа −4 и 4 — решениями неравенства (2). Так как f(−4)= 10 0 (16−4) 16−4−6 =2>0 , f(4)= 10 0 (16−4) 16+4−6 = 6 7 >0, то числа −4 и 4 являются решениями неравенства (2). 3) Функция f (x) имеет единственный нуль при x1 = −2, это число не является решением неравенства (2). 4) Исключив −4 и 4 (концы промежутков) и −2 (нуль функции f (x)) из D (f ), решим неравенство (2) на полученном множестве, состоящем из интервалов. Для этого определим знак функции f (x) на каждом из интервалов: (−4; −3), (−3; −2), (−2; 2), (2; 4), заполнив таблицу.
Решения неравенства (2) составляют три интервала: (−4; −3), (−2; 2) и (2; 4). 5) Объединив найденные решения, найдем, что множество всех решений неравенства (1) состоит из трех промежутков: [−4;−3)∪(−2;2)∪(2;4] . Пример 2. Решим неравенство 10 16− x 2 ( x 2 −4) x 2 +x−6 ≥0. (3)
Решение. Все решения неравенства (2) являются решениями неравенства (3), кроме них, неравенство (3) имеет еще одно решение: нуль функции f (x) — число −2. Следовательно, множество всех решений неравенства (3) состоит из трех промежутков: [−4; −3) ∪ [−2; 2) ∪ (2; 4]. Решения и комментарии Решите неравенство (12.19—12.22): 12.19. а) ( 2 x −8)(lgx−1) ( log 1 2 x+1) 12−x >0. Решение. Рассмотрим функцию f (x ) = ( 2 x −8)(lgx−1) ( log 1 2 x+1) 12−x . Ее область существования D (f ) определяется условиями x > 0, log 1 2 x≠ −1, 12 − x > 0, т. е. D (f ) = (0; 2) ∪ (2; 12). Функция f (x) имеет два нуля: x1 = 3 и x2 = 10, но эти числа не являются решениями исходного неравенства. Исключив числа x1 и x2 из D (f ), решим исходное неравенство на полученном множестве М, состоящем из интервалов (0; 2), (2; 3), (3; 10), (10; 12). Для этого определим знак функции f (x) на каждом из интервалов, заполнив таблицу.
Решения исходного неравенства на множестве М составляют два интервала: (0; 2), (3; 10). Так как других решений исходное неравенство не имеет, то эти два промежутка и составляют множество решений исходного неравенства: (0; 2) ∪ (3; 10). 12.22. а) 2 x−1 +6⋅ 4 x +1 3⋅ 4 x −10⋅ 2 x−1 −28 ≥−1. Решение. Перенеся все слагаемые в левую часть уравнения, сложив полученные дроби и разложив на множители числитель и знаменатель полученной дроби, получим неравенство 2( 2 x +1,5)( 2 x −2) 3( 2 x −4)( 2 x + 7 3 ) ≥0, (4)
равносильное исходному неравенству. Так как функция φ(x)= 3( 2 x + 7 3 ) 2( 2 x +1,5) определена и положительна для каждого x ∈ R, то, умножив неравенство (4) на функцию φ (x), получим, что неравенство (4) равносильно неравенству 2 x −2 2 x −4 ≥0. (5)
Рассмотрим функцию φ(x)= 2 x −2 2 x −4 . Ее область существования D (f ) определяется условием 2x − 4 ≠ 0, т. е. D (f ) = (−∞; 2) ∪ (2; +∞). Функция f (x) имеет единственный нуль — число x1 = 1, это число является решением неравенства (5). Исключив нуль функции f (x) из D (f ), решим неравенство 2 x −2 2 x −4 >0 (6)
на полученном множестве М, состоящем из интервалов (−∞; 1), (1; 2), (2; +∞). Для этого определим знак функции f (x) на каждом из интервалов, заполнив таблицу.
Решения неравенства (6) на множестве М составляют два интервала: (−∞; 1) и (2; +∞). Объединив полученные решения, найдем, что множество всех решений неравенства (5), а значит, и равносильного ему исходного неравенства состоит из двух промежутков: (−∞; 1] ∪ (2; +∞).
