17.17. а) Выразите sin 4x и cos 4x через sin x и cos x. Решение. По формуле Муавра имеем
(cos x + i sin x)4 = cos 4x + i sin 4x.
Применяя формулу бинома Ньютона и основное тригонометрическое тождество, имеем
(cos x + i sin x)4 = cos4 x + 4 cos3 x (i sin x) + + 6 cos2 x (i sin x)2 + 4 cos x (i sin x)3 + (i sin x)4 = = (cos4 x − 6 cos2 x sin2 x + sin4 x) + + i (4 cos3 x sin x − 4 cos x sin3 x) = = (cos4 x − 6 cos2 x (1 − cos2 x) + (1 − cos2 x)2) + + i (4 cos3 x sin x − 4 cos x sin3 x) = = (8 cos4 x − 8 cos2 x + 1) + i (4 cos3 x sin x − 4 cos x sin3 x).
По правилу равенства комплексных чисел имеем
cos 4x = 8 cos4 x − 8 cos2 x + 1; sin 4x = 4 cos3 x sin x − 4 cos x sin3 x.
17.19. а) Вычислите 16i ( sin π 3 −icos π 3 ) 2 ( 3 +i ) 4 . Решение. 16i ( 3 2 −i 1 2 ) 2 ( 3+2i 3 −1 ) 2 = 4i ( 3 −i ) 2 4 ( 1+i 3 ) 2 = i( 2−2i 3 ) −2+2i 3 =−i . 17.20. а) Пусть z — комплексное число: | z | = 2, arg z= π 3 . Найдите модуль и один из аргументов числа z3 − 8i. Решение. Так как z=2( cos π 3 +isin π 3 ) , то z1 = z3 − 8i = 8 (cos π + i sin π) − 8i = −8 − 8i; | z 1 |=8 2 ; z 1 =8 2 ( − 2 2 − 2 2 i )=8 2 ( cos 5π 4 +isin 5π 4 ) ; arg z 1 = 5π 4 . Итак, один из аргументов числа z1 равен 5π 4 ; | z 1 |=8 2 . 17.21. а) Найдите множество точек z комплексной плоскости, удовлетворяющих условию z⋅ z ¯ = (2+i) 2 + 17 1+4i . Среди этих точек найдите такие, для которых выполняется равенство | z | = | z − 2i |, и запишите числа, соответствующие этим точкам, в тригонометрической форме. Решение. Пусть z = x + yi. Тогда z · z ¯ = (x + yi) (x − yi) = x2 + y2; (2+i) 2 + 17 1+4i =4+4i−1+ 17 (1−4i) (1+4i) (1−4i) =3+4i+ 17 (1−4i) 1+16 = =3+4i+1−4i=4. Итак, условию задачи удовлетворяют точки (x; y) комплексной плоскости, для которых верно равенство x2 + y2 = 4, т. е. точки окружности с центром O (0; 0) и радиусом 2. Найдем среди этих точек такие, для которых выполняется равенство | z | = | z − 2i |, т. е. равенство x 2 + y 2 = x 2 + (y−2) 2 . Возведя в квадрат последнее равенство, получим, что y = 1, т. е. равенство | z | = | z − 2i | выполняется для всех чисел z = x + i, изображаемых точками прямой y = 1. Тогда существуют только две точки ( 3 ;1 ) и ( − 3 ;1 ), принадлежащие окружности x2 + y2 = 4 и прямой y = 1 (рис. 99).
Рис. 99
Они соответствуют комплексным числам:
z 1 =2 ( 3 2 + 1 2 i )=2( cos π 6 +isin π 6 ) и z 2 =2 ( − 3 2 + 1 2 i )=2( cos 5π 6 +isin 5π 6 ) . Замечание. Числа z1 и z2 можно найти и из геометрических соображений. Запишем равенство | z | = | z − 2i | в виде | z − (0 + 0i) | = | z − (0 + 2i) |. Тогда искомые точки z одинаково удалены от точек (0; 0) и (0; 2), соответствующих комплексным числам 0 + 0i и 0 + 2i. Такие точки лежат на серединном перпендикуляре к отрезку, соединяющему точки (0; 0) и (0; 2), т. е. на прямой y = 1.
17.2*. Корни из комплексных чисел и их свойства
В этом пункте доказывается теорема о существовании n различных корней степени n из любого комплексного числа, отличного от нуля, приведены примеры вычисления корней степени n из комплексных чисел. Решения и комментарии 17.23. а) Найдите корни степени 2 из комплексного числа 4( cos 4π 3 +isin 4π 3 ) . Решение. Для числа z=4( cos 4π 3 +isin 4π 3 ) имеем r = 4, φ= 4π 3 , поэтому α k = 4 ( cos 4π 3 +2πk 2 +isin 4π 3 +2πk 2 ) , где k = 0, 1, т. е.
α 0 =2( cos 2π 3 +isin 2π 3 ) , α 1 =2( cos 5π 3 +isin 5π 3 ) . 17.25. д) Найдите корни степени 3 из комплексного числа 1 + i и найдите на комплексной плоскости точки, их изображающие. Решение. Для числа z=1+i= 2 ( cos π 4 +isin π 4 ) имеем r= 2 , φ= π 4 , поэтому α k = 2 6 ( cos π 4 +2πk 3 +isin π 4 +2πk 3 ) , где k = 0, 1, 2, т. е. α 0 = 2 6 ( cos π 12 +isin π 12 ) , α 1 = 2 6 ( cos 3π 4 +isin 3π 4 ) , α 2 = 2 6 ( cos 17π 12 +isin 17π 12 ) (рис. 100).
