Среда, 03.06.2020, 00:22
Ш  К  О  Л  А     П  И  Ф  А  Г  О  Р  А
      Предмет математики настолько серьезен, что нужно
не упускать случая, сделать его немного занимательным".
                                                                           Блез Паскаль
Главная | Регистрация | Вход Приветствую Вас Гость | RSS
ПАМЯТКИ ПО МАТЕМАТИКЕ   ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ   ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ   МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
УРОКИ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛЕ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КЛАДОВАЯ
В МИРЕ ЗАДАЧ
ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
МАТЕМАТИКА В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ
ВАРИ, КОТЕЛОК!
УДИВИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
В МИРЕ ИНТЕРЕСНОГО
Категории раздела
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ [63]
ПРЕПОДАЕМ АЛГЕБРУ И НАЧАЛА АНАЛИЗА В 11 КЛАССЕ [19]
Статистика

Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0
Форма входа

Главная » Файлы » МЕТОДИЧЕСКИЕ НАРАБОТКИ » ПРЕПОДАЕМ АЛГЕБРУ И НАЧАЛА АНАЛИЗА В 11 КЛАССЕ

Тригонометрическая форма комплексных чисел
07.10.2014, 18:50

17.1*. Тригонометрическая форма комплексного числа

      В этом пункте учебника вводится понятие главного аргумента комплексного числа z, аргумента комплексного числа z, тригонометрической формы комплексного числа. Доказана теорема о умножении и делении комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, формула Муавра о возведении в целую степень комплексного числа, записанного в тригонометрической форме. Приведены примеры использования новых понятий при решении задач.
      Решения и комментарии
      Запишите в тригонометрической форме комплексное число z, укажите его главный аргумент (17.3—17.6):
      17.3. а) z=cos⁡( − π 4 )+i sin⁡( 3π 4 ) ;
      б)   z=−3( cos⁡ π 4 +i sin⁡ π 4 ) .
      Решение. а) z=cos⁡( − π 4 )+i sin⁡( 3π 4 )=cos π 4 +i sin⁡ π 4 ; arg⁡z= π 4 .
      б)   z=−3( cos⁡ π 4 +i sin⁡ π 4 )=−3( −cos⁡  5π 4  − i sin⁡  5π 4 )=
=3( cos⁡ 5π 4 +i sin⁡ 5π 4 ); arg⁡z=  5π 4   .
      17.5. а) z= 3 +i ; б) z= 3 −i .
      Решение. а) Так как | z |= ( 3 ) 2 + 1 2 =2 , то
z=2( 3 2 + 1 2 i )=2( cos⁡ π 6 +i sin⁡ π 6 ) ; arg⁡z= π 6 .
      б)  Так как | z |= ( 3 ) 2 + (−1) 2 =2, то
z=2( 3 2 − 1 2 i )=2( cos⁡ 11π 6 +i sin⁡ 11π 6 ); arg⁡z= 11π 6 .
      17.6. а) z = 3 + 4i;   б) z = 3 − 4i.
      Решение. а) Так как | z |= 3 2 + 4 2 =5, то z=5( 3 5 + 4 5 i )=
=  5 (cos arccos 0,6 + i sin arccos 0,6); arg z = arccos 0,6.
      б)  Так как | z |= 3 2 + (−4) 2 =5, то z=5( 3 5 − 4 5 i )=
=  5 ( cos (2π − arccos 0,6) + i sin (2π − arccos 0,6));
arg z = 2π − arccos 0,6.
      17.7. а) Выполните умножение комплексных чисел

( cos⁡ 5π 3 +i sin⁡ 5π 3 ) ( cos⁡ π 3 +i sin⁡ π 3 ) .
      Решение. Каждое из чисел z 1 =cos⁡ 5π 3 +isin⁡ 5π 3 и  z 2 =cos⁡ π 3 +isin⁡ π 3 записано в тригонометрической форме, имеет модуль 1, поэтому ( cos⁡ 5π 3 +isin⁡ 5π 3 )( cos⁡ π 3 +isin⁡ π 3 )   =cos⁡ 5π+π 3 +isin⁡ 5π+π 3 =cos⁡ 6π 3 +isin⁡ 6π 3 =1.
      Замечание. Тот же ответ получится, если в данном выражении раскрыть скобки с помощью распределительного закона умножения и применить формулы косинуса суммы двух углов и синуса суммы двух углов.
      17.15. а) Возведите в степень с показателем n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 комплексное число z= 3 2 + 1 2 i и найдите на комплексной плоскости точки, соответствующие полученным числам.
      Решение. Так как z 1 =z= 3 2 + 1 2 i=cos⁡ π 6 +isin⁡ π 6 и | z | = 1, то по формуле Муавра имеем
z 2 =cos⁡ 2π 6 +isin⁡ 2π 6 =cos⁡ π 3 +isin⁡ π 3 = 1 2 + 3 2 i ;
z 3 =cos⁡ 3π 6 +isin⁡ 3π 6 =cos⁡ π 2 +isin⁡ π 2 =i ;
z 4 =cos⁡ 4π 6 +isin⁡ 4π 6 =cos⁡ 2π 3 +isin⁡ 2π 3 =− 1 2 + 3 2 i ;
z 5 =cos⁡ 5π 6 +isin⁡ 5π 6 =− 3 2 + 1 2 i;
z 6 =cos⁡ 6π 6 +isin⁡ 6π 6 =cos⁡π+isin⁡π=−1;

z 7 =cos⁡ 7π 6 +isin⁡ 7π 6 =−cos⁡ π 6 −isin⁡ π 6 =− 3 2 − 1 2 i   (рис. 98).


Рис. 98


      17.17. а) Выразите sin 4x и cos 4x через sin x и cos x.
      Решение. По формуле Муавра имеем

(cos x + i sin x)4 = cos 4x + i sin 4x.

      Применяя формулу бинома Ньютона и основное тригонометрическое тождество, имеем

      (cos x + i sin x)4 = cos4 x + 4 cos3 x (i sin x) +
 + 6 cos2 x (i sin x)2 + 4 cos x (i sin x)3 + (i sin x)4 =
 = (cos4 x − 6 cos2 x sin2 x + sin4 x) +
 + i (4 cos3 x sin x − 4 cos x sin3 x) =
 = (cos4 x − 6 cos2 x (1 − cos2 x) + (1 − cos2 x)2) +
 + i (4 cos3 x sin x − 4 cos x sin3 x) =
 = (8 cos4 x − 8 cos2 x + 1) + i (4 cos3 x sin x − 4 cos x sin3 x).

      По правилу равенства комплексных чисел имеем

cos 4x = 8 cos4 x − 8 cos2 x + 1;
sin 4x = 4 cos3 x sin x − 4 cos x sin3 x.

      17.19. а) Вычислите 16i ( sin⁡ π 3 −icos⁡ π 3 ) 2 ( 3 +i ) 4 .
      Решение. 16i ( 3 2 −i 1 2 ) 2 ( 3+2i 3 −1 ) 2 = 4i ( 3 −i ) 2 4 ( 1+i 3 ) 2 = i( 2−2i 3 ) −2+2i 3 =−i .
      17.20. а) Пусть z — комплексное число: | z | = 2, arg z= π 3 . Найдите модуль и один из аргументов числа z3 − 8i.
      Решение. Так как z=2( cos⁡ π 3 +isin⁡ π 3 ) , то
z1 = z3 − 8i = 8 (cos π + i sin π) − 8i = −8 − 8i;   | z 1 |=8 2 ;
z 1 =8 2 ( −  2 2 − 2 2 i )=8 2 ( cos⁡ 5π 4 +isin⁡ 5π 4 ) ; arg  z 1 = 5π 4 .
      Итак, один из аргументов числа z1 равен 5π 4 ; | z 1 |=8 2 .
      17.21. а) Найдите множество точек z комплексной плоскости, удовлетворяющих условию z⋅ z ¯ = (2+i) 2 + 17 1+4i . Среди этих точек найдите такие, для которых выполняется равенство | z | = | z − 2i |, и запишите числа, соответствующие этим точкам, в тригонометрической форме.
      Решение. Пусть z = x + yi. Тогда z ·  z ¯  = (x + yi) (x − yi) = x2 + y2;
(2+i) 2 + 17 1+4i =4+4i−1+ 17 (1−4i) (1+4i) (1−4i) =3+4i+ 17 (1−4i) 1+16 =
=3+4i+1−4i=4.
      Итак, условию задачи удовлетворяют точки (x; y) комплексной плоскости, для которых верно равенство x2 + y2 = 4, т. е. точки окружности с центром O (0; 0) и радиусом 2.
      Найдем среди этих точек такие, для которых выполняется равенство | z | = | z − 2i |, т. е. равенство x 2 + y 2 = x 2 + (y−2) 2 . Возведя в квадрат последнее равенство, получим, что y = 1, т. е. равенство | z | = | z − 2i | выполняется для всех чисел z = x + i, изображаемых точками прямой y = 1. Тогда существуют только две точки ( 3 ;1 ) и   ( − 3 ;1 ), принадлежащие окружности x2 + y2 = 4 и прямой y = 1 (рис. 99).


Рис. 99


      Они соответствуют комплексным числам:

z 1 =2 ( 3 2 + 1 2 i )=2( cos⁡ π 6 +isin⁡ π 6 )  и
z 2 =2 ( − 3 2 + 1 2 i )=2( cos⁡ 5π 6 +isin⁡ 5π 6 ) .
      Замечание. Числа z1 и z2 можно найти и из геометрических соображений. Запишем равенство | z | = | z − 2i | в виде | z − (0 + 0i) | = | z − (0 + 2i) |. Тогда искомые точки z одинаково удалены от точек (0; 0) и (0; 2), соответствующих комплексным числам 0 + 0i и 0 + 2i. Такие точки лежат на серединном перпендикуляре к отрезку, соединяющему точки (0; 0) и (0; 2), т. е. на прямой y = 1.


17.2*. Корни из комплексных чисел и их свойства

      В этом пункте доказывается теорема о существовании n различных корней степени n из любого комплексного числа, отличного от нуля, приведены примеры вычисления корней степени n из комплексных чисел.
      Решения и комментарии
      17.23. а) Найдите корни степени 2 из комплексного числа 4( cos⁡ 4π 3 +isin⁡ 4π 3 ) .
      Решение. Для числа z=4( cos⁡ 4π 3 +isin⁡ 4π 3 ) имеем r = 4, φ= 4π 3 , поэтому α k = 4 ( cos⁡ 4π 3 +2πk 2 +isin⁡ 4π 3 +2πk 2 ) , где k = 0, 1, т. е.

α 0 =2( cos⁡ 2π 3 +isin⁡ 2π 3 )  ,
α 1 =2( cos⁡ 5π 3 +isin⁡ 5π 3 )  .
      17.25. д) Найдите корни степени 3 из комплексного числа 1 + i и найдите на комплексной плоскости точки, их изображающие.
      Решение. Для числа z=1+i= 2 ( cos⁡ π 4 +isin⁡ π 4 ) имеем r= 2 , φ= π 4 , поэтому
α k = 2 6 ( cos⁡ π 4 +2πk 3 +isin⁡ π 4 +2πk 3 ) , где k = 0, 1, 2, т. е.
α 0 = 2 6 ( cos⁡ π 12 +isin⁡ π 12 )  ,
α 1 = 2 6 ( cos⁡ 3π 4 +isin⁡ 3π 4 ) ,
α 2 = 2 6 ( cos⁡ 17π 12 +isin⁡ 17π 12 )   (рис. 100).

Рис. 100
Категория: ПРЕПОДАЕМ АЛГЕБРУ И НАЧАЛА АНАЛИЗА В 11 КЛАССЕ | Добавил: admin | Теги: МО учителей математики, обучение математики, математика в школе, из опыта работы учителя математики
Просмотров: 1005 | Загрузок: 0 | Рейтинг: 0.0/0
УЧИТЕЛЮ ИНФОРМАТИКИ
КОНСПЕКТЫ УРОКОВ
ВНЕКЛАССНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ПОСОБИЯ И МЕТОДИЧКИ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ЗАДАНИЯ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ

ИНФОРМАТИКА В ШКОЛЕ
ИНФОРМАТИКА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ
ИНФОРМАТИКА В 3 КЛАССЕ
ИНФОРМАТИКА В 4 КЛАССЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 3 КЛАСС
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 4 КЛАСС
ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДЛЯ ДЕТЕЙ
СКАЗКА "ПРИКЛЮЧЕНИЯ ЭЛЕКТРОШИ"
ИГРОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ НА УРОКАХ ИНФОРМАТИКИ
ВИКТОРИНЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ
КОМПЬЮТЕРНЫЕ ЧАСТУШКИ
ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ
Поиск


Друзья сайта
  • Создать сайт
  • Все для веб-мастера
  • Программы для всех
  • Мир развлечений
  • Лучшие сайты Рунета
  • Кулинарные рецепты

  • Copyright MyCorp © 2020
    Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru