Два столетия назад измерение дуги меридиана по суше было непростым делом. Измерения производились косвенно и по частям, для этого строилась сеть смежных треугольников, которая покрывала требуемый участок. После построения этой сети треугольников достаточно измерить длину одной стороны треугольника и величины двух прилежащих к ней углов, после чего посредством вычислений можно будет найти стороны всех треугольников в сети. Затем на основе построений в результате новых вычислений определяется длина дуги искомого меридиана. Этот метод называется триангуляцией и используется для измерения площади поверхностей неправильной формы, которые разбиваются на треугольники. Мы подробно описывали его в разделе «Измерение дуг меридианов посредством триангуляции» предыдущей главы.

Сначала отрезок, называемый основанием, измеряется по суше с максимально возможной точностью. Затем строится воображаемый треугольник. Двумя его вершинами будут концы основания, третьей — точка, как правило, находящаяся на возвышении. Она выбирается так, чтобы из каждой вершины треугольника были видны две другие и можно было измерить все три угла треугольника. Зная сторону и углы треугольника, можно вычислить две оставшиеся его стороны, которые, в свою очередь, станут основаниями двух других треугольников. Зная длины этих сторон и измерив углы новых треугольников, можно будет вычислить их стороны, которые станут основаниями новых треугольников. Таким образом, получается последовательность треугольников с известными сторонами. Вершины этих треугольников, называемые геодезическими пунктами, обычно располагаются на возвышениях (на горных вершинах, колокольнях и так далее).

Построенная таким образом последовательность треугольников обладает двумя недостатками: треугольники не располагаются в одной плоскости, а их стороны не сонаправлены с меридианом (мы уже отмечали, что сеть треугольников всего лишь покрывает рассматриваемую дугу меридиана). Следовательно, необходимо построить проекции двух видов, что несколько усложняет расчеты.

Во-первых, стороны треугольников необходимо спроецировать на общую плоскость отсчета. Для этого используется зенитный угол — угол между вертикалью в точке и стороной треугольника, проекцию которого необходимо построить (см. следующий рисунок).

Проекция сторон треугольника на общую горизонтальную плоскость.

Во-вторых, некоторые стороны необходимо спроецировать на меридиан так, чтобы в сумме они покрыли его полностью. Для этого используется так называемый азимутальный угол — между меридианом и стороной треугольника, проекцию которой мы хотим построить.

Проекция сторон, покрывающих меридиан.

На суше необходимо определить геодезические пункты — вершины треугольников, которые должны быть видны как минимум из трех других пунктов. Из геодезических пунктов составляется последовательность треугольников, покрывающих меридиан. При триангуляции необходимо последовательно переходить от одного геодезического пункта к другому и измерять горизонтальные углы между соседними пунктами. Далее требуется определить длину стороны одного из треугольников (основание) посредством измерений по суше. Длина основания используется для вычисления длин всех сторон смежных треугольников. Так определяется расстояние вдоль дуги меридиана от самого северного до самого южного геодезического пункта.

Так как измерение угловых расстояний производится с возвышений, необходимо привести все значения к некоторому общему треугольнику, расположенному на плоскости отсчета, как показано на иллюстрации на предыдущей странице.

Измерительные инструменты и точность измерений

Триангуляция требует максимальной точности при измерении основания (длины начального отрезка, на основе которой вычисляются длины сторон всех остальных треугольников) и величин углов смежных треугольников. Чтобы гарантировать точность измерений и избежать накопления ошибок при дальнейших расчетах, важно иметь точные измерительные инструменты и гарантировать, что геодезические пункты четко видны.

Для измерения основания Мешен и Деламбр использовали четыре линейки длиной в два туаза каждая (один туаз равен 1,949 м). Каждая линейка была покрыта слоем платины и меди — так можно было проконтролировать изменение размеров материалов в зависимости от температуры при каждом измерении. Чтобы обеспечить точность измерений, использовалась типографская линейка, показания с которой считывались при помощи лупы. Кроме того, применялись особые устройства, позволявшие укладывать несколько линеек точно в линию и на одном уровне.

Капитан военного корабля и физик-экспериментатор Жан-Шарль де Борда (1733–1799) изобрел оптический прибор для измерения углов — повторительный круг Борда. Этот прибор изготовил Этьен Ленуар, который в то время считался лучшим конструктором измерительных приборов во всей Франции. Повторительный круг Борда позволял измерять один и тот же угол несколько раз без необходимости перемещать прибор. Для измерения углов между геодезическими пунктами требовалось обеспечить оптимальную видимость, что в значительной мере зависело от погодных условий. В некоторых случаях для улучшения видимости применялись лампы, наполненные китовым жиром.

Естественным образом возникает вопрос: какой точности измерений удалось добиться? Были измерены два основания: одно, между Льёэном и Мелёном, — непосредственно для расчетов, второе, между городами Верне и Салз на юге Франции, возле побережья — для проверки результатов. Длина первого основания составила 6075,90 туаза (11,8 км), длина второго — 6006,249 туаза (11,7 км). Длина второго основания, вычисленная на основе первого с использованием сети из 53 треугольников общей протяженностью в 640 км, составила 6006,089 туаза. Ошибка оказалась равной всего 0,16 туаза, то есть 30 см.

Повторительный круг Борда.