Среда, 27.01.2021, 03:50
Ш  К  О  Л  А     П  И  Ф  А  Г  О  Р  А
      Предмет математики настолько серьезен, что нужно
не упускать случая, сделать его немного занимательным".
                                                                           Блез Паскаль
Главная | Регистрация | Вход Приветствую Вас Гость | RSS
ПАМЯТКИ ПО МАТЕМАТИКЕ   ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ   ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ   МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
УРОКИ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛЕ


МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КЛАДОВАЯ


В МИРЕ ЗАДАЧ
ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
МАТЕМАТИКА В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ
ВАРИ, КОТЕЛОК!
УДИВИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
В МИРЕ ИНТЕРЕСНОГО
Категории раздела
ПРОСТЫЕ ЧИСЛА. ДОЛГАЯ ДОРОГА К БЕСКОНЕЧНОСТИ [37]
КОГДА ПРЯМЫЕ ИСКРИВЛЯЮТСЯ. НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ [23]
МУЗЫКА СФЕР. АСТРОНОМИЯ И МАТЕМАТИКА [57]
МАГИЯ ЧИСЕЛ. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МЫСЛЬ ОТ ПИФАГОРА ДО НАШИХ ДНЕЙ [27]
ИНВЕРСИЯ [20]
ИСТИНА В ПРЕДЕЛЕ. АНАЛИЗ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ [47]
БЕСКОНЕЧНОСТЬ В МАТЕМАТИКЕ [43]
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ЕЕ ПАРАДОКСЫ [6]
ИЗМЕРЕНИЕ МИРА. КАЛЕНДАРИ, МЕРЫ ДЛИНЫ И МАТЕМАТИКА [33]
АБСОЛЮТНАЯ ТОЧНОСТЬ И ДРУГИЕ ИЛЛЮЗИИ. СЕКРЕТЫ СТАТИСТИКИ [31]
КОДИРОВАНИЕ И КРИПТОГРАФИЯ [47]
МАТЕМАТИКА В ЭКОНОМИКЕ [39]
ИСКУССТВЕННЫЙ ИНТЕЛЛЕКТ И МАТЕМАТИКА [35]
ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ. ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ НАШ МИР ТЕНЬЮ ДРУГОЙ ВСЕЛЕННОЙ? [9]
ТВОРЧЕСТВО В МАТЕМАТИКЕ [44]
ЗАГАДКА ФЕРМА. ТРЕХВЕКОВОЙ ВЫЗОВ МАТЕМАТИКЕ [30]
ТАЙНАЯ ЖИЗНЬ ЧИСЕЛ. ЛЮБОПЫТНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ [95]
АЛГОРИТМЫ И ВЫЧИСЛЕНИЯ [17]
КАРТОГРАФИЯ И МАТЕМАТИКА [38]
ПОЭЗИЯ ЧИСЕЛ. ПРЕКРАСНОЕ И МАТЕМАТИКА [23]
ТЕОРИЯ ГРАФОВ [33]
НАУКА О ПЕРСПЕКТИВЕ [29]
ЧИСЛА - ОСНОВА ГАРМОНИИ. МУЗЫКА И МАТЕМАТИКА [15]
Статистика

Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0
Форма входа

Главная » Файлы » МИР МАТЕМАТИКИ » МАГИЯ ЧИСЕЛ. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МЫСЛЬ ОТ ПИФАГОРА ДО НАШИХ ДНЕЙ

Космос как число
08.01.2015, 10:49

В последние месяцы своего пребывания в Кротоне пифагорейцы продолжали искать решение для описания мироздания, сохраняя безразличие ко все нарастающей буре народного негодования, направленного против секретности и исключительности. Не обращая внимания на Килона и его демократически настроенных бунтовщиков.

Братство продолжало разрабатывать свою неземную теорию, словно впереди была целая вечность, не осознавая, что в их распоряжении осталось всего несколько недель, чтобы завершить решение задачи. Возможно, они проявили мудрость и тут. Все, что они успели закончить и передать своим интеллектуальным последователям, оказалось менее ярким и побуждающим к мысли, чем бездна беспорядочных, причудливых умозрительных построений, которые они оставили на полпути. Родственные им души все еще продолжают искать вдохновение в незавершенных делах пифагорейцев. Другие же предаются сожалению, что Килон и его толпа не сумели добраться до всех колоний, где осели пифагорейцы, чтобы так же истребить их, как они истребили материнскую организацию в Кротоне. Более объективные критики, даже не воспринимающие учения Пифагора, просто перечисляют, что распространяло братство именем разума, и предоставляют возможность фактам говорить самим за себя. Об этом беспристрастно судил Аристотель, живший в 384–322 годах до н. э., всего два с половиной века спустя после Пифагора. Его оценки наиболее исчерпывающие. «Они занимались исключительно математикой, которую они впервые начали развивать. Пифагорейцы додумались до принципов математики, которые оказались аналогичными для других областей знания».

Само по себе это изречение ошеломляет. Но Аристотель, не будучи фанатиком математики и не выказывая своего отношения к предмету, посчитал необходимым остановиться на отдельных деталях.

«Поскольку числа, естественно, стоят выше всего остального, пифагорейцы сделали допущение, что они могут установить более тесные аналогии между числами и предметами, чем между огнем, землей или водой (три элемента из четырех у Эмпедокла) и предметами. Таким образом, справедливость стала одной комбинацией чисел, знания и разум – другой, возможность – третьей и т. д.»

«Опять же, они рассматривали возможность выражения составных частей… музыкального ряда в виде чисел.

Потому что все остальное, казалось, имеет форму чисел, и, поскольку числа в природе, как кажется, предшествуют появлению предметов, они на этом основании пришли к выводу, что природа чисел идентична природе предметов, следовательно, небеса создали число и гармонию».

«Указав на тесные аналогии между числами и астрономическими явлениями и, действительно, между числами и всеми явлениями целого космоса, они выстроили систему в астрономии. Если в системе возникали нестыковки, они прилагали все силы на нахождение связи (между числами и наблюдаемыми явлениями в астрономии). Например, поскольку «десять» казалось им числом совершенства, они утверждали, что существует десять небесных тел (включая сферу «неподвижных» звезд). В видимой части было только девять, они допустили существование десятой – Контр-Земли, чтобы отбалансировать Землю. …они заявили, что число есть прародитель предметов и причина как их материального существования, так и изменений и различных состояний…»

Это до некоторой степени язвительное обобщение всеобъемлющего решения пифагорейцев для описания мира переполнено наполовину скрытыми упоминаниями, что учение следует воспринимать по частям, чтобы раскрыть его треклятую законченность. Дабы быть кратким, нумерологическая нить, связывающая все отдельно существующие части в компактное единое целое, не вызывает сомнений, например 10 = 1 + 2 + 3 + 4. Каждое из чисел 1, 2, 3, 4, 10 в этом базовом отношении совпадения пифагорейской нумерологии имеет не просто одно значение или даже два, а буквально дюжины значений, ни одна пара из которых не имеет между собой ничего общего.

Если сказанное кажется полностью лишенным смысла для создания рациональной системы мира, то можно смягчить грубость любого порицания обращением к аналогии с современной физикой, нам же следует вернуться к естествознанию наших предков. Рассматривая каждый из нескольких прогрессивных научных трудов по разным направлениям классической физики: механики, теплопроводности, акустики, оптики, электричеству и магнетизму, замечаем, что два и более из них содержат как минимум одну пару практически идентичных равенств. Исключением могут являться буквы, которыми они записаны. Теперь, если конкретное равенство появляется, скажем, как в теории электромагнетизма, так и в теории упругости, данный феномен электромагнетизма может быть описан на языке эластичности, с которым, возможно, мы лучше знакомы. Или если равенства, суммирующие вибрации эластичного твердого тела, появляются в теории света, то можно описать свет как вибрацию гипотетического эластичного материала и назвать этот материал универсальным эфиром. Следуя этой логике, можно даже убедить самих себя в том, что этот эфир существует по-настоящему, как и осязаемый кусок сапожной ваксы. Все это в значительной степени тривиально. Но вера, которая это породила, не является ни тривиальной, ни устаревшей. Она живее и плодороднее в плане новых знаний, чем когда-либо в прошлом, и, как и во времена Пифагора, продолжает предсказывать как проверяемый факт, так и не подлежащий проверке миф. Такая вера – просто убеждение, что возможно до определенной малой степени предсказывать знания и предвидеть будущее материального мира. Древняя магия утверждала, что в состоянии это сделать, но никогда не делала. Менее древняя астрономия достигла значительных успехов. Современная наука имела больше успехов, чем поражений, в своих наиболее успешно развивающихся областях, в частности в физике, астрономии, генетике, и в достижении результатов, как успешных, так и разгромных, математические умозаключения сыграли впечатляющую роль.

Подчас, как в теории относительности, так и в современной квантовой теории, успешные предсказания удивляют даже людей, сделавших их. Когда-то успешность предсказания подтвердило открытие планеты Нептун в 1846 году, ставшее результатом математического анализа орбиты Урана. Математики подсказали астрономам, где искать новую планету, и она была найдена. Событие стало триумфом математики и закона всемирного тяготения Ньютона. Нумерология в теории Пифагора о Солнечной системе предсказала существование Антипода, который, разумеется, нельзя было рассмотреть на небесах и никогда не найти в будущем. Но вера, побудившая на предсказание, была той же, что и в случае с Нептуном. Недавний пример (1918) подобной веры в предсказании столь же ошибочен, как и в случае с Антиподом: красивая и разумная модификация основной теории относительности позволила предсказать, что атомы химических элементов должны обладать схожими характеристиками. Наблюдаемое отсутствие указанных характеристик отнесло предсказание в ту же категорию, как и у Антипода. При наличии подобных параллелей между естествознанием прошлого и естествознанием настоящего, порождающих глубокие тайны, необходимо рассмотреть несколько примеров «сущего» в пифагорейском «Все сущее есть число». Если какой-нибудь современный ученый ожидает или надеется на симпатии со стороны своих коллег в следующем столетии, то не станет презирать коллегу за преждевременную попытку (не забывайте, предпринятую двадцать пять веков тому назад) дать рациональное объяснение космосу, а проявит учтивость и удивительную толерантность.

Сердцем и умом пифагорейского космоса были декады и тетрады. Декады состояли из первых десяти натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, а тетрады – из первых четырех 1, 2, 3, 4.

Можно подчеркнуть вначале, что 1 иногда означала достоинство быть числом вообще. Но когда некие значительные обобщения требовали от 1 стать числом, дабы избежать вызывающих раздражение противоречий, 1 на время становилась таким же числом, что и остальные.

Хотя этот двойственный подход лишил 1 некоторых нумерологических привилегий, недостаток вполне можно было компенсировать приписыванием дополнительных полномочий, которых нет ни у одного из других чисел.

Поскольку 1 очевидно является автором и прародителем как тетрад, так и декад: 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1 = 1 + 1 + 1 и так далее, такая 1 может быть идентифицирована как универсальная и всемогущая Единица – создатель всего сущего, когда становится ясно, что все во вселенной создано, или выражено, в декадах. Следует признать неопровержимость данной логики.

В действительности из тетрад достаточно получить столько, сколько может быть задумано, поскольку тетрады порождают или создают декады: 2 = 1 + 1; 3 = 1 + 2; 4 = = 2 × 2; 5 = 2 + 3; 6 = 2 × 3; 7 = 3 + 4; 8 = 2 × 4 = 2 × 2 × 2; 9 = 3 × 3; 10 = 1 + 2 + 3 + 4. Представлены только некоторые из всего множества различных декад. Выбранные декады самые важные для пифагорейцев. Другими столь же значимыми были: 5 = 2 + 1 + 2; 7 = 3 + 1 + 3; 9 = 4 + 1 + 4, где очевидны общие характеристики. Следует заметить, что ни одно четное число не может быть разложено на сумму из трех чисел, из которых среднее есть 1, а первое и последнее равны между собой. Банально? Совсем нет. Данный трюизм элементарной арифметики проявится метафизической нумерологической сущностью Ограниченного и Неограниченного, Конечного и Бесконечного, Времени и Вечности, которые в течение прошедших двух тысяч лет, безусловно, находятся среди вопросов, наиболее часто становившихся объектами обсуждения среди метафизиков. Если все сущее есть число, что же такого потрясающего или удивительного мы находим в том, что метафизика есть разновидность мистической арифметики? Непосвященным кажется довольно странным, что числа более десяти высокомерно отвергаются. Но в действительности это не так. Согласно наблюдениям Пифагора, «декады содержат в себе все сущее, поскольку числа более декад просто повторяют первые десять». Мысль заключается в следующем: 11 = 10 + 1; 12 = 10 + 2… 19 = 10 + 9; 20 = 2 × 10; 21 = 2 × 10 + 1;…29 = 2 × 10 + 9;… и т. д. Нумеролог из Вавилона сделал бы все числа сверх 60 отголоском истины, заключенной в числах от 1 до 60. То, что придумали пифагорейцы, равнозначно специальным методам, которыми пользуются в современной высшей арифметике. Они делили все натуральные числа на десять классов. Первый класс включал в себя все натуральные числа, которые давали в остатке 1, когда их делили на 10, второй класс включал в себя те, что давали в остатке 2, когда их делили на 10, и так далее вплоть до десятого класса, который включал все натуральные числа, которые делились на 10 без остатка. С позиций нумерологии было не обязательно относиться по-разному к числам в любом из десяти классов, потому что все они, согласно гипотезе, были, с позиции нумерологии, неотличимы.

Следующее фундаментальное допущение пифагорейцев лежит так глубоко, действительно глубоко, что цивилизованный человек едва ли может надеяться вытащить его на свет разума. Нечетные числа мужского рода, а четные числа – женского. Можно только задать вопрос почему, не ожидая ответа, за исключением, возможно, неуверенного упоминания исчезнувшего фаллицизма или забытого орфизма. Примитивные люди, кажется, были даже более педантичны, чем некоторые из современных, в отношении секса, зачастую включая его физически и духовно в свои верования. Возможно, мужская 1 и женская 2 были святынями из забытых обрядов. Каким бы ни было происхождение физиологической арифметики, она оказалась важна для пифагорейской теории мира.

Исходя из постулата, что существуют числа противоположного пола, следует (согласно пифагорейцам), что для брака число 5 – мужское, число 6 – женское, и оба числа отступают, как и должны, в полноценной декаде. Рассуждения просты. В законном браке одна женщина соединяет свою жизнь с одним мужчиной. Но 2 – это первое женское число, а 3 – первое определенно мужское число. Это один из нумерологических случаев, когда 1, хотя и нечетному числу и по этой причине предположительно мужскому, отказано в привилегиях, данным другим числам. Сложение 2 и 3 есть 2 + 3, или 5, что означает мужское свадебное число. Но ему разумно должно составлять пару женское число. Поскольку в свадьбе женщина усилена мужчиной: 2 × 3 = 6.

Если же спросить, почему не 3 + 4, или 7, стало символом мужской свадьбы вместо 2 + 3, Пифагор ответил бы, что 4 есть справедливость, а справедливость добродетель для мужчин, а не для женщин, поэтому правильно дать браку мужское число 3. Слегка надавив на него, узнаем, почему 4 есть справедливость. Получаем легкий ответ: 4 = 2 × 2 = 2 + 2, где просто на миг не обращают внимания, что 2 – женское число. Но какой бы ни был пол у 2, как и 4 = 2 × 2 = 2 + 2 означает «возврат взаимной любви» или, в более конкретном выражении, «око за око и зуб за зуб» – один из неизменных канонов любой дикарской справедливости. К тому же, где бы оно ни появлялось, число 7 есть девственность, а по этой причине не подходит на роль мужского свадебного числа.

Мы находимся в мире фантазий, где все, что ни пожелаешь доказать, можно доказать, и по уважительной причине любое препятствие на пути прямой дедукции может быть устранено введением нового постулата, отменяющего препятствие. Наши созидательные силы безграничны. Ничто не может препятствовать нам, потому что никогда мы не подвергнем наши выводы радикальной проверке репродуктивного опыта в мире чувств. Действительно, они выше любой подобной проверки. Наше раздумье, создание свободного разума, строго рационально вне зависимости от того, есть ли у него противоположность в повседневном мире чувственных ощущений. Если последовать за Пифагором и Эмпедоклом и высказать постулат, что только думающая часть души может открыть истину человечеству, следует поверить Платону, что наш выдуманный мир реален, а все остальное – иллюзия.

Включившись в дело порицания пифагорейцев за манипулирование своими постулатами, стоит им только наткнуться на трудности в своей дедуктивной нумерологии, следует вспомнить, что подобная практика отнюдь не редкость для современной науки. Рассмотрим простой и частый пример: амбициозный математик взялся за нерешенную задачу. Решение этой задачи станет существенным прорывом в науке. Но после нескольких месяцев тяжелого труда он устанавливает, что реальная задача выше его сил. Поэтому он возвращается в самое начало, вносит едва заметное изменение в одно из данных условий задачи, которое блокировало каждый его шаг, и дальше продолжает без проблем. Он затем пытается убедить себя, что легкая задача, которую он решил, есть не менее значительный вклад в науку, чем та сложная, от решения которой он отказался. Чтобы не вызывать негативной реакции ссылкой на конкретные примеры современности, вернемся к первым великим мастерам в искусстве подмены трудного легким.

Дабы закруглиться с нумерологией Пифагора по вопросам брака, обратимся к детям. Сейчас почти каждый, кто манипулирует числами, сталкивается с замечательными особенностями 6 – числа женского замужества, совсем как пифагорейцы наткнулись на него в начале своей деятельности: 6 = 1 + 2 + 3. Но 1, 2, 3 есть числа меньше 6, на которые оно делится без остатка, и число 6 есть сумма всех своих делителей, которые все меньше его. По этой причине пифагорейцы нарекли число 6 совершенным числом. Такие числа встречаются очень редко, и их трудно отыскать, и до сих пор неизвестно, существует ли нечетное совершенное число. Следующее после 6 совершенное число 28, потому что 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14, и 1, 2, 4, 7, 14, все они являются делителями 28, меньшими, чем само число 28, следующее число 496; за ним 8128.

В совершенстве 6 = 1 + 2 + 3 Пифагор видел временно мужскую 1, соединенную с постоянно женской 2 и вечно мистической 3 в совершенном браке. Почему 3? Потому что 3 первое, самое привычное и самое распространенное из всех неисчислимых троиц, которое доминирует в религиях с самого возникновения истории, в частности: человеческая троица, состоящая из отца, матери и ребенка, – 1, 2, 3. Но это не все. Ребенок есть результат единения отца и матери: 3 = 1 + 2. Все это, без сомнения, просто фантазии, до тех пор пока мы отрицаем их пафос. Число 3 символизирует вечную троицу, и трогательно сознавать, что ранние нумерологи, видимо, наделяли временную человеческую радость стабильностью, которую они хотели бы видеть в ней.

К слову сказать, число 3, являющееся первым мужским числом, может быть мужчиной. В мужчине по этой причине проявляется нечто божественное, поскольку число 3 – это и Святая троица. Таков пример дедукции, обнаруживаемый в раннехристианской нумерологии. Пифагорейцы пришли к еще более занимательному выводу, связанному с отождествлением числа 3 с человеком. Ничто в человеческом опыте не бывает более бесспорным, чем печальный факт, что жизнь человека проходит три фазы: юность, зрелость и смерть. А число 3 – единственное число, в котором начало и конец даже равны средней части: 3 = 1 + 1 + 1. Итак, мужчине уготовано судьбой родиться, мужать и умереть, что точно соответствует числу 3, которым он и является. Даже Аристотель, при всем своем практичном превосходстве над вводящими в заблуждение пифагорейцами, клюнул на приманку нумерологии в своем трактате «Поэтика», как и во многом другом. Его требование, чтобы трагедия состояла из трех частей: вступления, основной части и финала, – есть проявление чистейшей воды нумерологии. Так сказал сам учитель!

Совершенство 28 значительно выше, чем совершенство 6 с позиции космической истинности, но следует при этом кое-что учитывать. Неделя состоит из 7 дней, 14 – две недели, а 28 – лунный месяц, 1 и 2 – мужчина и женщина или Бог и женщина, 4 – справедливость, а 7 – «чистое число», обозначенное так потому, что 7 не создает чисел внутри декад ни путем умножения, ни путем деления, являясь суммой 1, 2 и 4. И так далее. Почти что «сущее»: от человека до луны справедливо (четверливо) одно совершенство.

В своем обзоре древней нумерологии Аристотель заметил, что «справедливость стала одной комбинацией чисел, образованность и мудрость – другой, возможность – третьей и т. д.».

Мы видели, как число 4 означает справедливость. Было бы интересно взглянуть на понятия «мнение» и «знание». Хотя Аристотель специально не упоминает их, они сродни абстракциям в его изложении. Многое из того, о чем Платон и Сократ (говорящий то, что Платон вложил в его уста) говорили по поводу мнения и знания, было позаимствовано у первых нумерологов.

Наше знакомство с лабиринтом философской арифметики началось с двойной двери Ограниченного и Безграничного – тех мистических абстракций, которым суждено было стать альфой и омегой метафизики от Платона до Гегеля и математики от Пифагора до Кантора, жившего в 1845–1918 годах основателя современной теории математической бесконечности.

Нечетные числа в пифагорейской нумерологии ограничены, конечны и детерминированы, даже числа, не подпадающие под эти мужские качества решимости. Значения технических терминов в данной работе отличны от тех значений, которые употребимы в наши дни. Так, «конечный» означает имеющий границы, или завершение, а «бесконечный» означает неограниченный, незавершенный. И «конечный» и «бесконечный» встречаются в современной математике с такими же дефинициями, но они не соответствуют этим терминам в пифагорейской нумерологии и даже близко не напоминают вложенный в них смысл.

В пифагорейской попытке дать рациональное знание «конечность» нечетных чисел и «бесконечность» четных чисел отражают два элементарных понятия, тривиальные для нас. Нечетное число 5, например, может быть представлено в виде суммы двух равных чисел и единицы, а единица может быть расположена в центре равенства: 5 = 2 + 1 + 2. То же самое справедливо для 7 = 3 + 1 + 3, при этом общее нечетное число можно записать как n + 1 + n. Созидательная Единица, 1, «ставит рубеж», или «ограничивает» два равных числа. Аналогичное разделение мужских чисел женским числом 2 невозможно, поскольку нечетное число, деленное на 2, дает остаток (1/2), не являющийся целым числом. Следовательно, с точки зрения нумерологии женское число может разделить два мужских, но никогда одно.

Четное число, наоборот, не ограничено в своей внутренней структуре божественно созидательной Единицей. 4 = 2 + 2; 6 = 3 + 3;…2n = n + n. Следовательно, женские числа могут быть разделены наименьшим из них (2) на 2 целых числа. Возможная скрытая особенность состоит в применении «ограниченного» и «безграничного», которые будут рассмотрены в следующем разделе, где будет показано, что «линия» есть понятие, «ограниченное» своими концами, которыми выступают точки, а точка есть 1.

Из всего сказанного напрашивается вывод, что ограниченные нечетные числа пригодны для определения «постоянного» и «знаний», в то время как неограниченные четные числа могут выражать себя только через «непостоянное мнение». В подробности доказательства лучше не вдаваться.

Далеко не все в нумерологии «ограниченного» столь наивно, как в приведенном примере. Если «все сущее есть число», как утверждал Пифагор, должна быть возможность доказать, что весь космос есть число. Пифагорейцы довели это доказательство до конца в наиболее гениальной форме применения своей теории ограниченного. Их решение проблемы пространства стало ранней попыткой дать последовательный разбор размерности. Что означают слова: конкретное пространство имеет один размер, или два, или три? Удовлетворительный ответ, пригодный для любого пространства (ограниченного или безграничного) числа размерностей, был найден только в 1920-х годах. Хотя пифагорейское решение проблемы пространства давным-давно исчезло из разумного восприятия математиков, Пифагор и его ученики заслуживают признания за то, что занялись этой гениальной проблемой. Не искажая значения слова слишком вольно, беспристрастный критик может заявить, что даже при полной ошибочности их решения оно было рационально. То решение оказалось важным шагом для определения четырех материальных элементов с числами и геометрическими фигурами. Перейдем к нумерологическому доказательству, что космос есть число.

Согласно Пифагору, точки есть базовые элементы пространства и только точка имеет место в мире. В отличие от материальных предметов у точки нет ни составных частей, ни магнитуды. Эти недостатки соответствуют числу 1, когда последнее рассматривается как монада или созидательный элемент числа. Если Пифагор думал о пространстве, состоящем из точек, значит, точки создали его космос. Но как бы он ни представлял себе пространство, точку он ассоциировал с числом 1.

Прямая линия, или сокращенно – линия, в нашей геометрии существует вне зависимости от направлений, указанных линией. Но в греческой геометрии линия была просто конечным отрезком нашей линии, и главенствовал постулат, что линия может быть продолжена на любое желаемое (конечное) расстояние. Следовательно, греческая линия имела два конца, каждый из которых был точкой, или числом 1. Итак, в нумерологии Пифагора линия была 2. Становится ясно, почему нечетное число «конечно» или «ограниченно». Например, в 7 = 3 + 1 + 3, где число 1 становится точкой, ограничивающей число 3.

Какое бы определение ни было дано космосу, будет полезно извлечь часть определения из интуитивного представления о протяженности на плоской поверхности. Пифагорейцы определили линию как длину без толщины – возможное обновление определения Фалеса. Таким образом, ни точка 1, ни линия 2 не были «пространством» для пифагорейцев, это попутно означало, что ни 1, ни 2 не получили всех своих привилегий от главенствующих мужских (нечетных) чисел. Но при помощи полностью мужского числа 3 есть возможность достичь реального ограниченного числа, а следовательно, можно надеяться на достижение чистого космоса. Это так, потому что три точки, не располагающиеся на одной линии, необходимы и достаточны для определения любой конкретной плоскости. Действительно, достаточно, чтобы имел место равносторонний треугольник, через который можно провести плоскость, и этот треугольник получается, когда все его три угла соединены между собой. Каждая вершина есть точка, или число 1. Треугольник есть союз трех вершин: 1 + 1 + 1, что равно числу 3. Следовательно, плоскость имеет значение 3.

Предположим, однако, что надо сосчитать сумму не вершин, а сторон равностороннего треугольника. Каждая из сторон есть линия, а следовательно, число 2. Сторон 3, следовательно, треугольник будет равен 3 × 2, или совершенному числу 6. Но это не так. Ошибка состоит в том, что каждая из сторон была посчитана два раза, потому что две линии сходятся в одной вершине своими концами. Следовательно, необходимо разделить 6 на 2. Результат опять число 3 как число поверхности. Такая проверка на корректность логики должна была доставить Пифагору момент радости.

На следующем этапе появляется новый грандиозный посыл в нумерологии космоса. Линия, о которой идет речь, ограничена, или «предельна», точками. Базовый элемент (точка, 1) всего космоса появился как ограничивающий элемент для вторичного элемента (линии, 2). Это предполагает, что вторичный элемент должен являться ограничивающим или предельным элементом для элемента третьего класса в строении космоса, а именно треугольника. Имеем: треугольник ограничен 3 линиями. Получив на основании замечательного предположения громадной важности закон, применимый к любому пространству, Пифагор в предвкушении демонстрации отважно выдвинул гипотезу, что телесное пространство, пространство материальных тел, есть число 4. Затем, как добросовестный ученый, протестировал свое предсказание на фактах, которые ему казались таковыми. Если бы они подтвердили его правоту, он бы стал самым счастливым человеком на земле.

Простейшим из всех геометрических тел правильной формы является тетраэдр, у которого есть 4 точки, это его вершины, и 4 равносторонних треугольника в качестве граней. Великий принцип ограничения элементами следующего нижнего уровня применим. Но здесь много чего, очень много. Телесное пространство, только что доказанное, есть число 4, являющееся справедливостью по сути, не имеет оснований для сомнений. 4 треугольные субповерхности, ограничивающие и лимитирующие тетраэдр, сами по себе ограничены и лимитированы 6 линиями, являющимися гранями тела, а число 6 совершенно. Более того, 4 грани тетраэдра ограничивают 6 линий, ограничивающие 4 треугольника, ограничивающие тело. Ограниченный подобным образом во всех мыслимых направлениях тетраэдр, и потому еще и телесное пространство, является изначально мужским со своими числами 2, числами 4 и своим совершенным числом 6.

Сущее в данном случае выглядит следующим образом: 1 – точка, 2 – линия, 3 – плоскость, а 4 – тело. Но что-то уже было похожее? 1, 2, 3, 4 есть тетрада, их союз, следовательно, весь космос есть число самой декады: 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Поскольку все материальные вещи существуют только в космосе, они тоже есть числа, а тетрады создают их всех. Пифагор был самым счастливым человеком на земле.

Продолжая изучать «все сущее» учителя, в мгновение оказываемся у «категорий», упомянутых Аристотелем в официальном обвинении: «…они сделали вывод на этом основании, что элементы чисел идентичны элементам категорий». Следующей проблемой стала необходимость выделить суть из тетрады 1, 2, 3, 4. Возможно, наиболее привлекательное описание релевантной нумерологии содержится в диалогах Платона. Не придавая значения тому, что сам Платон воспринимал всю эту пифагорейскую физику и химию настолько серьезно, насколько он, возможно, хотел бы убедить нас, нам остается мимоходом отметить, где он все это имел возможность достать.

Около середины V века до н. э. философ Филолай, эрудированный ученик Пифагора, ставший известным около 450 года до н. э., собрал существенный архив поучений учителя. К тому времени братство самораспустилось уже почти полвека тому назад. Как будет видно в следующей главе, распад пифагорейцев как организованного секретного сообщества стал результатом мести Килона. И хотя братство прекратило существовать как активная политическая сила, некоторые из них, кто знавал учителя живым, продолжали топтать землю в интеллектуальных колониях, первоначально основанных материнской организацией в Кротоне. Эти стареющие живые свидетели одной политической чистки, сменявшей другую, оказались в положении схожем с положением интеллектуальных евреев в Европе во времена нацистского режима.

Подозреваемые во всех видах вредительства, к которым они были не причастны, обвиняемые в преступлениях против правящих тиранов, при этом не имея намерения бороться в сложившихся безнадежных обстоятельствах, измученные пифагорейцы прибегали к уловкам, дабы сохранить свои знания, даже если им самим и суждено было погибнуть. Притворная хитрость их счастливых лет стала практической необходимостью, если они не хотели, чтобы учения погибли вместе с братством. Впоследствии всего несколько письменных произведений по пифагорейской науке и философии были найдены, и эти немногие труды передавались из рук в руки под самой торжественной клятвой оберегать секрет. Архив Филолая, как утверждают, стал наиболее полным и наиболее точным среди прочих. Даже в ранние годы Платона, когда активная враждебность к пифагорейской секте осталась в далеком прошлом, пифагорейскую «библию» Филолая было очень трудно достать. Как полагают, Платон достал копию у Архита из Таренто. Архит был восторженным ученым-пифагорейцем. Распознав родственный ум в молодом, но подающем надежды Платоне, Архит великодушно подарил ему бесценную копию пифагорейской «библии». (Один источник говорит, что Платон дал высокую цену за книгу, но по некоторым причинам это звучит неправдоподобно.) За исключением нескольких фрагментов весьма сомнительного авторства, сам труд больше не существует, но письменные упоминания и ссылки на его текст сохранились у греческих историков.

Утрата конспекта Филолая компенсируется бесспорно старательным исследованием, предпринятым со всей глубиной ума Платона, особенно в части нумерологии, представленной, например, в отдельных частях его «Тимея». При отборе для этой книги примеров пифагорейской химии и астрономии много чего было взято из диалогов Платона, к которым любое заинтересованное лицо может обратиться за дальнейшими деталями. Многое, хотя и с критических позиций, дал Аристотель в своих комментариях к науке пифагорейцев. Но по разумной, пользующейся доверием традиции позднейшие греческие историки и философы основывали свои исследования на «библии» Филолая.

Написанный спустя не менее пятидесяти лет после гибели Пифагора, насколько этот конспект заслуживает доверия как первоисточник? Схожий вопрос можно задать в отношении наших Евангелий, ведь, как утверждают некоторые критики, они были записаны не раньше семидесяти или восьмидесяти лет после распятия. В целом, как кажется, мы не сильно собьемся с пути, если отдадим должное Пифагору и его ученикам, как сделал это Платон.

Ссылаясь на труды Платона о науке Пифагора, пренебрегая хронологическим порядком, оказываемся на его месте, когда он сам пришел к этериализации нумерологии Пифагора, чтобы разглядеть ее «неуклонно и в полном объеме», такой, как она есть.

Будет показано, что материальные вещи суть числа. При доказательстве (нумерологическом, конечно), что животные есть числа, приведем пример доисторического искусства. Число любого животного, или любого вида животных, таких как «человек» или «лошадь», определяется унифицированной анатомической арифметикой. Схематичное изображение, скажем человека, нарисовано на песке. У человека, безусловно, есть отличительные признаки: две руки, две ноги, одна голова, одно сердце и т. д. На частях диаграммы поместим гальку, по одной на часть тела. Общее количество булыжников и есть требуемое число. Кстати, это пример подсчета в первоначальном значении слова, поскольку латинское слово calculus, счет, означает «галька».

Недавнее (1942) наблюдение английского натуралиста, сделанное в Индии, свидетельствует о более раннем схематичном представлении о строении человека. Согласно данным указанного обозревателя, начало этого искусства уходит корнями в дочеловеческие времена. Оказывается, еще обезьяны, наводнявшие конкретную индийскую деревню, избрали плоскую вершину холма поблизости для своей культурной деятельности: подвижных игр, ухаживаний и отдыха. Время от времени одна из шаловливых обезьян предпочитала неожиданно прерывать свои танцы, второпях опускаться на корточки, сильно упирать свою левую руку в песок и палочкой, зажатой в правой руке, как карандаш у чертежника, быстро проводила линию вокруг отпечатка левой руки. Затем, очевидно опасаясь, что делает что-то противоестественное, художница вскакивала и убегала на ближайшее дерево. После чего остальные обезьяны собирались вокруг творения, рассматривая его с трепетным восхищением. Это настоящая рука или это абстрактное изображение всех рук, универсальная Рука в сфере Божественных помыслов? Подобно нам, они не могли постичь увиденное. Они возвращались к своим обыденным занятиям.

Эта связь между правильными геометрическими фигурами и соответствующими последовательными рядами чисел имела важное значение для пифагорейцев, а после них для платонистов, отчасти из-за очевидного единения космической симметрии с числами, а отчасти из-за тетрад и декад, проявлявшихся неожиданно в различных обликах. Были и так называемые продолговатые числа, соответствующие камешкам гальки, разложенным в виде прямоугольника со стороной отличной от предыдущей на 1 камешек, например: 30 = 5 × 6. Когда Пифагор обратил внимание на то, что продолговатое число равно двойному треугольному числу, как в случае с 30 = 2 × 15, он испытал безграничный душевный подъем.

Ободренный видимым успехом с плоскими фигурами, Пифагор отважно ввязался в рискованное предприятие с геометрическими телами. В воображаемом пространстве он успешно выложил из гальки кубические числа 1, 8, 27, 64, 125… унифицированным способом, который может быть оставлен гениальному читателю, желающему открыть его вновь. И тут он застрял, потому что космос для него, как и для всех остальных греческих нумерологов и геометров, имел только три измерения. Они могли себе представить результат умножения трех чисел как объем твердого тела. Так, 3 × 4 × 10 = 120 есть объем короба со сторонами 3, 4, 10. Но умножение типа 3 × 4 × 10 × 12 сбивало их с толку в их геометрической арифметике, поскольку выражение «умножить четыре линии» лишало само действие смысла в трехмерном пространстве. Подобные искусственные барьеры просто исчезли, когда алгебра заняла место геометрии в качестве языка чисел. Но треугольные и прочие многоугольные числа пифагорейцев, а также кубические выжили, по меньшей мере как названия в современной теории чисел. Продолговатые числа исчезли из словаря давным-давно.

Наиболее значимой деталью для всей пифагорейской науки было четвертое из треугольных чисел 1, 3, 6, 10, 15, 21… Да, 10 или декада. Но при этом и треугольник, а потому – священный тетрасис. Поскольку, согласно Пифагору, все числа находятся внутри декад, становится ясно, почему десять было совершенством для остальных чисел и, согласно Платону, исконным образцом для вселенной. Становится понятен и краеугольный камень обобщений Платона, что мир создан из треугольников. Это будет подтверждено, когда 4 элемента произойдут от 4-го члена последовательности треугольных чисел, конкретно из треугольных декад. Неудивительно, что братство пифагорейцев превратило 10, действительно 4-й треугольник, в свою клятву и свой наиболее жестко охраняемый секрет. Тот, кто дал клятву на тетрасисе и нарушил ее, предавался анафеме, поскольку он предал космос, частью которого был сам, греки бы сказали пропорцией или дробью.

Хотя может показаться занимательным распутывать всю замысловатую нумерологию (в изложении Платона, в частности в «Тимее») создания и структуры материального мира, но нет необходимости это делать, чтобы понять суть идеи пифагорейской химии, физики и космогонии. Вполне вероятно, окажется достаточно уже представленных материалов, чтобы оценить ее возможности в столь типичном отрывке: «Итак, то, что было создано, обязательно телесно, а также видимо и осязаемо. Ничего не видно там, где нет огня, и осязаемое не телесно без земли. По этой причине божественное в начале создания сотворило тело мироздания из огня и земли. Но две вещи не могут существовать без третьей, у них должно быть связующее звено. Ныне прекрасная связь – это та, которая наиболее полно объединяет связанные вещи. Пропорции хорошо подобраны для поддержания этой связи. Всякий раз среди трех чисел, какой бы телесной или иной другой она ни оказалась, не имеет значения, потому что среднее значение есть последнее условие, поскольку на первом плане – среднее значение, а когда значение есть наипервейшее условие, то и последнее условие приобретает среднее значение, и оно становится и первым, и последним, а первое и последнее становятся значимыми, все вещи по необходимости приходят к одному знаменателю, поскольку они едины и стремятся слиться воедино».

Пифагорейцы, а после них Платон вывели из элементарной акустики: вселенная одушевленная и небеса с планетами и «зафиксированными» на сфере звездами есть число и гармония. Одной детали доказательства вполне достаточно для примера. Поскольку в музыкальной гамме Пифагора семь интервалов и поскольку на момент изобретения гаммы было известно всего пять подлинных планет, и потому что эти пять планет, если прибавить к ним Солнце и Луну, становятся числом семь, то, следовательно, планеты есть музыкальная гамма. Принимая во внимание фундаментальные постулаты учителя, что все сущее заключено в декадах и что «все сущее есть число», ни один логик или математик не стал бы спорить с доказательством Пифагора или Платона, если только он не имел намерения транспонировать их в символы, с которыми только он был знаком. Такого рода опыт убедит любого, что результат, достигнутый прямым математическим (или дедуктивным) доказательством, может не иметь отношения к миру научного или чувственного опыта или просто не отвечать здравому смыслу. Если постулаты не согласуются с проверяемым или уже проверенным опытом, выводы, основанные на них, не имеют значения в чувственном мире. Подобные утверждения, вне всякого сомнения, банальны, но от этого они не менее справедливы. Любой человек с рациональным мышлением принял бы их, однако многие рациональные ученые убеждали коллег принять фактически непроверяемые утверждения, потому что они были выведены с помощью безупречной логики, математической или иной, из допущений, которые рациональному мышлению нет нужды принимать.

Итак, нам придется опять воздержаться от презрительной усмешки в адрес науки и теологии наших предшественников.

Принимая сказанное во внимание, было бы крайне поучительно взглянуть на выводы, которые ученые мужи, чей интеллект был явно не ниже нашего, вывели из кругового движения планет. Начнем с Платона и его выводов, наиболее рафинированных из всех.

Даже такие области, как эсхатология, искусство управлять государством и эпистемология, не были оставлены вниманием пифагорейцев, как, разумеется, и должно было быть. В противном случае все сущее не стало бы числом. По одному примеру синтеза по каждому направлению будет достаточным. Первые два неинтересны для истории, в отличие от третьего. Все типичные для философии учителя, без сомнения, были основательно изложены в пропавшей «библии» Филолая.

Во-первых, в «Республике» Платона есть несколько жутковатая нумерология преисподней, о которой рассказывает «бравый парень Эр, сын Армения, памфилиец по рождению». Кто заинтересовался, пусть ищет детали там.

Затем упомянем таинственное число 5040, которое Платон приводит в своих «Законах», где этому числу соответствует количество жителей его идеального города. Всякий, кто учил перестановки и комбинации элементарной алгебры, распознает 5040 как общую сумму различных вариантов положения числа 7 в ряду, скажем, 7 книг на полке. Число равно 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7. Записанное в таком виде, оно, к нашему смущению, очевидно раскрывает нумерологические возможности. Проявляется даже сверхсакральное число 7, не говоря уж о женском числе 2, мужском 3, числе справедливости 4, числе здорового тела 5 и совершенном числе 6. Среди прочих значений, представляющих интерес для гражданского уложения, 7 есть число вершин Платона, которые должны быть преодолены для приобретения знаний и мудрости, а в действительности 7 есть сами эти вершины. В этом энциклопедическом числе заключено бесконечно многое. Любой нумеролог космоса насчитает в 5040 точно 60 делителей, в то время как в 60–12, в 12 – совершенное 6, а в 4 – справедливость 4, когда 4 содержит точно 3, а 3 содержит точно женскую 2, которая точно содержит 2, и т. д. 2-2-2-… навеки. На основании указанных фактов можно показать, что Идеальный город заключен в Брачное число и что он вечно возвращается, будучи однажды жестко («четверно») возведенным. Внедрение зодиакального 12 слишком очевидно, чтобы говорить о нем специально. Число 3 представляет Идеальную семью в городе в течение всего Великого года.

Третий пример совсем другого толка. Это ограниченный принцип дихотомии, или последовательного деления на 2, за исключением декадического ограничения до 10 дихотомий, фундаментальный инструмент классической логики от Аристотеля до Средних веков и далее.

В предыдущей главе было указано, что первый шаг в науке – это классификация, как в истории природы деревьев и животных. Дихотомия – один из методов классифицирования сложносоставного вида на более простые подклассы и подвиды, до тех пор пока (если процесс продолжается достаточно долго) исходный вид не будет разделен на подвиды, в которых либо будет только один член, либо ни одного. На каждой стадии по меньшей мере один из подвидов разбивается на два. Теперь все вещи, согласно теории пифагорейцев, делятся на две категории противоположностей, одна из которых относится к числу ограниченных, а другая располагается на стороне неограниченных. Но поскольку декада есть часть вселенной, то должно существовать 10 пар противоположностей. Каждая пара есть дихотомия от Единицы. Например, ни одно тело во вселенной (Единица) не может быть в покое и в движении в любую единицу времени, и каждое тело находится в покое и в движении в любую единицу времени. Следовательно, Покой и Движение составляют пару противоположностей, которые призваны дихотомировать Все, или Единицу. Полная декада противоположностей, как решили пифагорейцы, должна выглядеть следующим образом:


1. Ограниченный – Неограниченный

2. Нечетный – Четный

3. Единственный – Множественный

4. Правый – Левый

5. Мужской – Женский

6. Покой – Движение

7. Прямой – Непрямой

8. Свет – Тьма

9. Добро – Зло

10. Квадрат – Овал


После того как несколько примеров пифагорейской науки были продемонстрированы, должно стать очевидным, что дихотомированная декада содержит неограниченные возможности для нумерологии в науке, философии и чистом разуме. Многие из них были выработаны нумерологами и логиками Античности и Средних веков. Миллионы человеко-часов и тысячи жизней растрачены ради этой беспредельной задачи, цели которой ни один здравствующий ныне человек не сможет определить. Весь проделанный труд оставил лишь небольшой сухой остаток в тривиальных тонкостях логики, которая долгое время представляла лишь антикварный интерес только для тех немногих, кто действительно помнит о ее существовании. И в то время как все это, несомненно, неплодородное поле деятельности культивировалось со страстью почти уникальной в истории человеческой мысли, куда более потенциально урожайное поле деятельности экспериментальной науки, о которой Пифагор также упоминал, лежало невозделанным и запущенным.

За этот неправильный выбор области приложения (если при последнем обследовании его сочтут таковым) Пифагор ответствен в первую очередь. Когда он открыл законы музыкальных интервалов, перед ним расстилались два пути. Один вел обратно в потемки мистицизма и суеверий, а другой – вперед к неоткрытым возможностям экспериментальной науки. Сделав первый шаг в неизвестном направлении, Пифагор внезапно повернулся и пошел старым избитым путем в прошлое. Но он не всегда двигался назад, подобно некоторым из его учеников. Если в своих слишком амбициозных попытках создать сложную науку о вселенной уровень его мышления был донаучным, подобное нельзя сказать о его вкладе в традиционную математику. Только из-за фанатичных стараний Пифогора подчинить все возможное, от звезд до гуманистических ценностей, власти чисел, его мышление оказалось донаучным и дологическим. В этом плане его интеллектуальная активность оказывалась отброшенной назад к каменному веку. Примитивность столь длительных сумерек между абсолютной дикостью и примитивной цивилизацией была не менее суеверной перед лицом природы, чем сам Пифагор со своей лучезарной мечтой о том, что бесконечная сложность природы проста, как арифметика для детей. И это стало его последним открытием. Дороги по-прежнему не выбраны. По какой пойдем мы? Возможно, это окажется не столь важно, когда настанет конец путешествия и мы приляжем отдохнуть в холодных лучах заходящего солнца. Но какой бы путь мы ни избрали, мы будем слишком холодными и равнодушными, если не почувствуем хоть немного того тепла, которое согревало первых поверивших в рациональность мироздания. Только одно в вечном потоке, кажется, остается неизменным, является ключом к единству, к Единице в хаосе многообразия и смятения Многого. Два огня, две планеты, двое родителей – это просто разные аспекты одного неизменного числа при неизменности вечного. Если число не было по-настоящему Богом, откуда же взялись бы силы создавать или разрушать других. Число правит космосом с неподкупной справедливостью, более беспристрастной, чем та, которую проявляют целые пантеоны капризных богов. Только число в одиночку держалось против ветра в утверждении: «Нет ничего постоянного». Оно одно выдюжило и существует, все остальное стало временным проявлением и иллюзией. Все сущее стало числом только в том смысле, что рождало понимание, а для понимания всего сущего, от движения планет до воплощения суда Божьего, необходимо и достаточно понять число.

Это была великая мечта, простая, как детство, но великая, и она не погибла. Но она была только мечтой, и ее возвращение в наши дни не может ничего добавить.

Категория: МАГИЯ ЧИСЕЛ. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МЫСЛЬ ОТ ПИФАГОРА ДО НАШИХ ДНЕЙ | Добавил: admin | Теги: Мир Математики, занимательная математика, магия чисел, дидактический материал по математик, популярная математика
Просмотров: 606 | Загрузок: 0 | Рейтинг: 0.0/0
УЧИТЕЛЮ ИНФОРМАТИКИ
КОНСПЕКТЫ УРОКОВ
ВНЕКЛАССНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ПОСОБИЯ И МЕТОДИЧКИ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ЗАДАНИЯ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ


ИНФОРМАТИКА В ШКОЛЕ


ИНФОРМАТИКА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ
ИНФОРМАТИКА В 3 КЛАССЕ
ИНФОРМАТИКА В 4 КЛАССЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 3 КЛАСС
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 4 КЛАСС
ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДЛЯ ДЕТЕЙ
СКАЗКА "ПРИКЛЮЧЕНИЯ ЭЛЕКТРОШИ"
ИГРОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ НА УРОКАХ ИНФОРМАТИКИ
ИГРОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ВИКТОРИНЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ
КОМПЬЮТЕРНЫЕ ЧАСТУШКИ
ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ
Поиск


Друзья сайта
  • Создать сайт
  • Все для веб-мастера
  • Программы для всех
  • Мир развлечений
  • Лучшие сайты Рунета
  • Кулинарные рецепты

  • Copyright MyCorp © 2021
    Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru