Должно пройти много времени, прежде чем этот порядок вещей изменится. Математические блюда по-прежнему подаются на роскошной посуде и не содержат ни малейших изъянов. Мудрец-повар пробует свое блюдо снова и снова, пока не решит, что оно готово и его можно подавать. Он ищет ошибки и исправляет их, если находит. Если же в рецепт закралась неустранимая ошибка, такое блюдо немедленно отвергается и возвращается на кухню — именно там, а не в зале ресторана, вершится математика. Именно там готовятся аксиомы, теоремы и доказательства. Именно там совершаются ошибки, проверяются гипотезы и отвергаются идеи. Фартуки поваров покрываются грязными пятнами, а сами повара впадают в отчаяние, оттого что логика не идет на поводу у их интуиции. И тогда они тысячу раз проклинают свое ремесло, которое многие считают божественным.

Однако математическую кухню питает не только огонь логики: на ней не обойтись без интуиции, аналогий, экспериментов, гипотез, то есть без мысли. Так как все люди мыслят по-разному или руководствуются разными интересами, на размышления математиков и их деятельность влияют общество и культура. Почему одна теорема более ценна, чем другая? Почему все пытаются доказать одни теоремы и не уделяют внимания другим? С помощью логики можно сделать бесконечное множество тривиальных умозаключений, которые не представляют никакой ценности. Развитие математической мысли вызвано интересом людей к решению задач, теоретических и практических, полезных и бесполезных, а сами задачи могут отражать стремление к знаниям или рассматриваться как личный вызов.

Полнее и точнее всего этот аспект математики описан в классических научно-популярных книгах, в частности «Что такое математика?» американских авторов Рихарда Куранта и Герберта Роббинса (первое издание вышло в 1941 году, с тех пор книга неоднократно переиздавалась), в более поздней книге «Математический опыт» Филипа Дэвиса и Рубена Херша (1999) или в книге последнего «Что же такое математика на самом деле?» (1997). В этой книге Херш приводит простой и понятный пример: «Формулу 2 + 2 = 4 можно доказать как теорему в некоторой модели аксиом, однако ее сила и убедительность происходят из физической модели — например, ее правильность нетрудно подтвердить с помощью монет или камней». Более того, логика, используемая в формальном доказательстве, которое упоминает Херш, появилась значительно позже, чем подсчет камней. Курант и Роббинс, в свою очередь, подчеркивают важнейшую роль, которую играют в развитии математики эксперимент, интуиция и аналогия:

«…хотя принципа математической индукции совершенно достаточно для того, чтобы доказать эту формулу — раз она уже написана, однако доказательство не дает решительно никаких указаний, как прийти к самой этой формуле… Тот факт, что доказательство теоремы заключается в применении таких-то простых логических правил, не оказывает ни малейшего влияния на творческое начало в математике, роль которого — делать выбор из бесконечного множества появляющихся возможностей. Вопрос о том, как возникает гипотеза, — из той области, в которой нет никаких общих правил; здесь делают свое дело эксперимент, аналогия, конструктивная индукция».

Логика очень важна в математике, однако она не настолько тесно связана с открытиями и изобретениями, как может показаться. Логика не указывает путь и не подсказывает, как найти решение. Этот путь открывают эксперимент, аналогия и интуиция, а затем логика превращает эти нехоженые тропинки в широкую магистраль, по которой может проехать любой. Проиллюстрируем это на примере, рассмотрев известную геометрическую задачу, решенную благодаря счастливому озарению.