Задача 32 из книги II

Эта задача формулируется так:

«Найти три числа, таких что квадрат любого из них, сложенный со следующим числом, дает квадрат».

Можно использовать любые способы решения. Возможно, если нам повезет, мы сможем найти верный ответ. Можно начать, например, с того, что выбрать в качестве первого числа 1. Теперь, по условию, его нужно возвести в квадрат и прибавить к нему следующее из трех чисел, при этом результат должен также являться квадратом. Например, 1² + 3 = 4 = 2². Итак, мы выбрали 1 и 3. Теперь возведем 3 в квадрат и прибавим к нему некое число так, чтобы результат тоже был квадратом. Например, З² + 7 = 16 = 4². Имеем 1, 3 и 7. Теперь осталось совершить последний шаг цикла и подтвердить, что 7 в квадрате, сложенное с 1, также дает квадрат: 7² + 1 = 50. Увы, но 50 не является квадратом. Следовательно, нужно начинать все сначала и попробовать другие числа. Эта задача подобна головоломке: нужно правильно расставить все элементы по своим местам. Ферма проводил многие часы за решением подобных задач. Они бросали вызов его воображению, и такой же вызов позднее бросил современникам он сам.

Решение задачи 32

Диофанту было известно решение этой задачи, и непохоже, что он нашел его случайно. Скорее всего, ему был известен некий загадочный метод решения. Решение, предложенное Диофантом, таково:

«Обозначим первое число за х, второе примем равным 2х + 1, третье — 2(2х + 1) + 1, то есть 4х + 3, так что два условия задачи выполняются. Последнее условие формулируется так: (4х + 3)² + х = квадрат = (4х — 4)². Следовательно, х = 1/51, а тройка искомых чисел такова: 7/57, 71/57, 199/57».

Как получилось, что подобные выкладки приводят к верному ответу? Нет никаких сомнений, что Диофант был выдающимся математиком. Он обозначил первое число за х. Второе число он мог выбрать любым способом, но обозначил его за 2х + 1, потому что знал, что х² + 2х + 1 = (х + 1)², следовательно, выполнялось первое условие. Третье число он также мог выбрать произвольным образом, но выбрал 2(2х + 1) + 1, то есть 4х + 3, поскольку он знал, что (2х + 1)² + 2(2х + 1) + 1 = (2х + 2)², следовательно, выполнялось и второе условие. Остается лишь третье условие, а именно: (4х + 3)² + х = квадрат. Здесь снова проявляется гений Диофанта: он понял, что этот квадрат может быть представлен в виде (4х — 4)², и в этом случае для решения задачи достаточно найти корни очень простого уравнения.

(4х + 3)² + х = (4х — 4)².

Раскрыв скобки, получим:

16х² + 24х + 9 + x = 16х² — 32х + 16.

Сократив 16х², имеем:

24х + 9 + х = —32х + 16.

Перенесем все члены с х в одну часть и получим:

24х + х + 32х = 16 — 9 —> 57х = 7 —> х = 7/37.

Мы нашли первое из искомых чисел. Теперь нетрудно найти второе число, равное 2х + 1 = 71/57, и третье, равное 4х + 3 = 199/57. Наконец, легко показать, что

(7/57)² + 71/57 = 4096/3249 = (64/57)² (первое условие);

(71/57)²  + 199/57 = 16384/3249 = (128/57)² (второе условие);

(199/57)² + 7/57 = 40000/3249 = (200/57)² (третье условие).

Особенности задачи

На примере этой задачи мы можем оценить всю красоту стиля Диофанта, которым, должно быть, восторгался и Ферма. Эта задача красива, но явно непрактична. Кому может быть интересно решить ее? Она не нужна, чтобы подсчитать урожай, измерить землю или узнать расположение звезд. Она лишь показывает одно из свойств рациональных чисел. Интерес этой задачи заключен в музыке чисел, в беспрестанных попытках понять их внутреннюю гармонию и ритм. Однако чтобы решить ее, требуется весь математический аппарат и все доступные средства. Так, именно размышления об «Арифметике» навели Виета на мысль о создании основ алгебраической нотации, которая используется и сейчас. Он пытался сделать труд Диофанта понятнее читателю и найти средство для решения все более сложных задач. Ферма, вдохновленный «Арифметикой», сформулировал новые задачи и нашел новые способы доказательства, которые снова вызвали интерес к теории чисел, ставшей со временем одним из самых многообещающих разделов математики. Простые числа, которые в свое время интересовали древних греков, сегодня используются в сложнейших системах шифрования информации и моделирования Вселенной.

С другой стороны, решенная задача имеет чисто арифметический смысл. Если бы задача имела геометрический смысл, то сложение числа, возведенного в квадрат, с другим числом было бы равносильно сложению площади и длины — величин разных порядков. Теорема Пифагора — совершенно иной случай: она гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, то есть площадь двух квадратов, построенных на катетах, равна площади большого квадрата, построенного на гипотенузе. В этом равенстве все величины имеют один порядок. В теореме Ферма все степени также имеют одинаковые показатели: хⁿ + уⁿ = zⁿ. При n = 3 можно представить, что мы складываем объемы кубов и получаем объем третьего, большего куба. Для больших степеней речь будет идти уже о многомерных фигурах в многомерных пространствах.

Параллельные рассуждения

Эта задача также характеризуется тем, что ее решение нетривиально. Его сложно найти случайно. Подобным свойством обладают и многие другие задачи из «Арифметики». Кроме этого, Диофант довольствовался одним частным решением и не стремился решить задачу в общем виде, чтобы найти все возможные решения. Несмотря на это, его результаты открывают возможность провести параллельные рассуждения, с помощью которых можно найти новые решения, не упоминаемые в книге.

Например, если вместо последнего условия 4х — 4 мы используем 4х — 5, то получим другое, полностью корректное решение:

(4х + 3)² + х = (4х — 5)² —>

16х² + 24х + 9 + х = 16х² — 40х + 25 —>

24х + 9 + х = — 40х + 25 —>

24х + х + 40х = 25 — 9 —>

65х = 16 —>

х = 16/65.

Мы получили еще одно решение: 16/65, 97/65, 259/65.

Если вместо последнего условия 4х — 4 мы используем 5х — 3, то получим еще одно корректное решение:

(4х + З)² + х = (5х — 3)² —>

16х² + 24х + 9 + х = 25х² — 30х + 9.

Сократив девятки в обеих частях равенства, получим:

16х² + 24х + х = 25х² — 30х.

Поделив обе части на х, имеем:

16х + 24 + 1 = 25х 30 —>

24 + 1 + 30 = 25х — 16х —>

55 = 9х —>

х = 55/9.

Мы получили еще одно решение: 55/9, 119/9, 247/9. Теперь нам открываются новые задачи. Например, существуют ли целые решения, которые удовлетворяют этим условиям?

Задача 29 из книги IV

Еще одна, также очень известная задача из «Арифметики» — это задача 29 из книги IV. Она звучит так:

«Найти четыре квадрата, сумма которых, увеличенная на сумму их сторон, будет равна данному числу».

И снова мы видим всю гениальность Диофанта:

«Пусть дано число 12. х²  + х + 1/4 — квадрат. Следовательно, сумма четырех квадратов + сумма их сторон + 1 = сумма других четырех квадратов = 13. Следовательно, нужно разделить 13 на четыре квадрата, и, если мы вычтем 1/2 из всех его сторон, получим стороны искомых квадратов.

Имеем 13 = 4 + 9 = (64/23 + 36/25) + (144/25 + 81/25), и стороны искомых квадратов равны 11/10, 7/10, 19/10, 13/10. Их квадраты соответственно равны 121/100, 49/100, 361/100, 169/100».

Рассуждения полностью корректны для частного случая n = 12. Эту задачу в современной форме записи можно представить так:

«Найти x₁, х₂, х₃, х₄ такие, что

х₁² + х₂² + х₃² + х₄² + х₁ + х₂ + х₃  + х₄ = n,

где n — данное число».

Прибавив 1 к обеим частям равенства, получим

х₁² + х₂² + х₃² + х₄² + х₁ + х₂ + х₃  + х₄ + 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = n + 1.

Переупорядочив слагаемые и предположив, что n = 12, имеем

х₁² + х₁ + 1/4 + х₂² + х₂ + 1/4 + х₃² + х₃  + 1/4 + x₄² + х₄ + 1/4 = 12 + 1.

Принимая во внимание, что х² + х + 1/4 = (х + 1/2)², можно записать следующее:

(x₁ + 1/2)² + (х₂+ 1/2)² + (х₃ + 1/2)² + (х₄ + 1/2)²  = 13.

Осталось лишь представить 13 в виде суммы четырех квадратов. В данном конкретном случае нетрудно заметить, что 13 является суммой двух квадратов, 4 и 9. Используя теорему Пифагора, нетрудно выразить каждое из этих чисел в виде суммы двух квадратов, как делает сам Диофант в других задачах «Арифметики».

Числа 4, 3, 5 образуют пифагорову тройку: 4² + 3² = 5². Поделив обе части равенства на 5², получим (4/5)² + (3/5)² = 1. Теперь, если мы умножим обе части равенства на 2², получим (8/5)² + (6/5)² = 2², то есть (64/25) + (36/25) — 4. Если умножить обе части равенства на З², получим (12/5)² + (9/5)² = З², то есть (144/25) + (81/25) = 9 — именно такое разложение и предлагает Диофант. Таким образом, решение найдено:

(х₁ + 1/2) = 8/5,

(x₂ + 1/2) = 6/5,

(x₃ + 1/2) = 12/5,

(x₄ + 1/2) = 9/5.

Вычтем 1/2 из обеих частей каждого равенства и получим ответ, предлагаемый Диофантом. Удивительно, но 13 = 1 + 4 + 4 + 4, то есть представить 13 в виде суммы четырех квадратов можно было намного проще! Подобное разложение дает следующее решение: 1/2, 3/2, 3/2, 3/2.

Загадочное примечание

Баше заметил, что в этой и других задачах «Арифметики» Диофант пользовался тем, что любое число можно представить в виде суммы четырех квадратов. Он проверил эту закономерность для всех чисел до 325, но ему хотелось найти строгое доказательство. Здесь в дело вступил гений Ферма: «Я первым открыл замечательную теорему, которая гласит: всякое натуральное число — либо треугольное, либо сумма двух или трех треугольных чисел; всякое натуральное число — либо квадратное, либо сумма двух, трех или четырех квадратных чисел; всякое натуральное число — либо пятиугольное, либо сумма от двух до пяти пятиугольных чисел и так далее до бесконечности для шестиугольников, семиугольников и любых других многоугольников, изменяя формулировку этой удивительной теоремы в соответствии с числом углов».

Он писал: «Доказательство этой теоремы зависит от различных и запутанных свойств чисел, и я не могу привести его здесь. Я решил посвятить этому вопросу отдельный и полный труд и тем самым удивительным образом продвинуть арифметику далеко за пределы, известные еще с древних времен».

Но эта работа так никогда и не увидела свет. Написал ли ее Ферма? Действительно ли ему удалось найти какое-то доказательство? Неизвестно. Это еще одна загадка Ферма. Известно лишь, что этой задачей занимались математики масштаба Лежандра, Лагранжа, Эйлера и Гаусса, и каждому из них удалось внести свой вклад в ее решение.

В 1770 году Жозеф Луи Лагранж доказал случай для квадратов, то есть утверждение, что любое натуральное число можно представить в виде суммы четырех квадратов. Доказательство этой теоремы для треугольных чисел принадлежит Гауссу, который 10 июля 1796 года записал в дневнике: «**EYRHKA num = Δ + Δ + Δ».

Этот частный случай оказался эквивалентен следующему утверждению: любое число вида 8m + 3 можно представить в виде суммы трех нечетных квадратов. Дирихле, в свою очередь, изучал, сколькими способами можно представить данное число в виде суммы трех треугольных чисел. Наконец, в 1813 году Коши привел полное доказательство. Для полного решения задачи, вкратце записанной на полях книги, понадобилось почти 150 лет.

Портрет математика Огюстена Луи Коши, который завершил доказательство теоремы, сформулированной Ферма на основе задачи 29 книги IV «Арифметики» Диофанта.

Возвращаемся ко второй книге: задача 8

Задача 8 книги II, несомненно, является важнейшей вехой в истории, которая рассказывается в этой книге. Эта задача звучит так:

«Представить квадратное число в виде суммы двух квадратов».

Затем Диофант приводит следующее решение:

«Пусть дано квадратное число 16. Пусть х² — один из искомых квадратов. Следовательно, 16 — х² также будет квадратом. Возьмем квадрат вида (mx — 4)², где m — любое целое, 4 — квадратный корень из 16. Возьмем в качестве примера (2х — 4)² и приравняем это выражение к 16 — х². Следовательно, 4х² — 16х + 16 = 16 — х²; 5х² = 16х; х = 16/5. Искомыми квадратами являются 256/25 и 144/25».

Здесь использован тот же прием, что и в задаче 32 книги II. Так как значение m может быть произвольным, то задача может иметь бесконечно много решений.

Все эти решения очень легко найти. На полях страницы, где излагается эта задача, Ферма написал комментарий, который вошел в историю:

«Cubum autem in duos cubos, aut quadrate-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet».

Что в переводе означает:

Другими словами, Ферма утверждал, что уравнение хⁿ  + уⁿ  = zⁿ не имеет рациональных решений при х, у, z, отличных от нуля, и n > 2, и оправдывал отсутствие пояснений тем, что найденное им чудесное доказательство не поместится на полях этой страницы. Это напоминает нам пометку к задаче 29 книги IV. Разумеется, это доказательство никогда не увидело свет.

Этот и другие комментарии Ферма не перестают удивлять нас. С одной стороны, кажется, что Ферма никогда не имел намерений опубликовать их. Поэтому от него не следует ожидать каких-либо подробных доказательств. Они больше похожи на личные заметки, которые были нужны, чтобы затем можно было вспомнить ход рассуждений и заняться углубленным изучением темы. Но, с другой стороны, они написаны так, как будто обращены к читателю. Иначе зачем нужно было объяснять самому себе, что чудесное доказательство не поместится на полях страницы или что он не приводит доказательство, так как позднее надеется опубликовать отдельную большую книгу по этой теме? По-видимому, эти пометки действительно были частью его личного дневника, но в то же время Ферма хотел подготовить издание «Арифметики» со своими комментариями.

Вклад Ферма

Как бы то ни было, комментарий не пропал напрасно. Ферма много раз возвращался к нему и действительно хотел привести в порядок и записать свое «чудесное доказательство». Первое, что понял Ферма: из любого рационального решения можно получить целое решение путем умножения на наименьшее общее кратное знаменателей.

Следовательно, достаточно показать, что уравнение не допускает целых решений. С другой стороны, нетрудно видеть, что достаточно доказать лишь случаи для n = р, где р — простое, и для n = 4. Все остальные случаи будут доказаны автоматически. Если n = рm, то уравнение хⁿ + уⁿ = zⁿ будет иметь вид х^mр + у^mр = z^mp, откуда получим (х^m)^р + (у^m)^р = (z^m)^p. Если для показателя степени р решения отсутствуют, то они также отсутствуют для показателей степени, кратных р. Аналогично понятно, что если решения отсутствуют для n = 4, то их также не будет для показателей степени, кратных 4. Поэтому Ферма сосредоточил внимание на том, чтобы доказать, что его уравнение не имеет целых решений для n = р, где р — простое, и для n = 4.

Страница книги II «Арифметики» Диофанта издания 1670 года. На этой странице приведена задача 8 и комментарий Ферма.

По-видимому, это указывает на то, что ему действительно удалось доказать частные случаи для n = 3 и n = 4. Доказательство для n = 3 не сохранилось, но Ферма ссылается на него в некоторых письмах. Доказательство для n = 4 сохранилось, и его можно назвать поистине мудрым. В нем впервые представлен метод бесконечного спуска: доказывается, что если существуют три значения х, у, z натуральные и отличные от нуля, которые удовлетворяют уравнению х⁴ + у⁴ = z⁴, то можно найти три других, меньших натуральных числа, отличных от нуля, х', у', z', которые также будут удовлетворять этому уравнению. Продолжая подобные рассуждения, мы придем к тому, что всякий раз будем получать всё меньшие и меньшие решения, при этом они будут натуральными и отличными от нуля. Но это приводит к противоречию: натуральные числа не могут быть бесконечно малыми. Следовательно, таких решений не существует.

* * *

* * *

Ферма полагал, что найденный им метод бесконечного спуска является общим методом, который можно использовать в доказательствах любых теорем теории чисел, подобно тому как Декарт считал, что все задачи в природе можно решить с помощью аналитической геометрии. Но реальность, как всегда, оказалась шире подобных представлений. Ее многообразие нельзя охватить каким-то одним методом, сколь мощным бы он ни был. Всегда будут находиться исключения, которые будут бросать вызов человеческому разуму, и человеку нужно будет постоянно превосходить самого себя, чтобы достигнуть новых и новых высот. Именно это произошло с последней теоремой Ферма.

С помощью метода бесконечного спуска Ферма нашел доказательство для n = 3, но, возможно, он понял, что доказать теорему аналогичным способом для высших степеней не удастся. Но даже несмотря на это, вклад Ферма остается поразительным — доказав теорему для n = 4, он создал новый математический метод, оказавшийся удивительно многогранным.

Кроме этого, он доказал свою теорему для половины всех возможных показателей, что уже немало. Тем не менее, вопрос о доказательстве теоремы для всех остальных случаев оставался открытым. С тех пор на него пытались ответить самые выдающиеся математики, но безуспешно.

Труды Ферма были опубликованы после его смерти. На рисунке — титульный лист одной из книг Ферма, изданной в XIX веке.