1. Найти как можно больше разных трёхзначных чисел, не содержащих в записи цифры 9, таких, что при увеличении каждой их цифры на 1 произведение всех цифр числа увеличивается ровно вдвое и ни одно из этих чисел не получается из другого перестановкой цифр.

2. Машина движется со скоростью 80 км/час. С какой скоростью ей надо двигаться, чтобы 1 км проезжать на 15 секунд быстрее?

3. Сколько различных трёхзначных чисел, делящихся на 6, и не содержащих одинаковых цифр, можно составить из цифр 0, 4, 5, 6?

4. Большой треугольник разбит тремя жирными отрезками на 4 треугольника и 3 четырёхугольника. Сумма периметров четырёхугольников равна 25 см, сумма периметров четырёх треугольников равна 20 см, периметр исходного большого треугольника равен 19 см. Найдите сумму длин трёх жирных отрезков. Ответ обосновать.

5. Вдоль дороги длиной 60 км стоит несколько (больше одного) пеньков. Первый турист идёт по дороге со скоростью 5 км в час, у каждого пенька он останавливается и отдыхает одно и то же целое число часов. Второй турист едет по той же дороге на велосипеде со скоростью 12 км в час и отдыхает у каждого пенька в два раза дольше первого туриста. Вышли и пришли туристы одновременно. Сколько пеньков у дороги? Ответ обосновать.

7.1. Ответ. Всего есть три различных с точностью до перестановки цифр ответа: 345, 267, 338.

7.2. Ответ. 120 км/ч Решение. 1 км машина проезжает за 3/4 минуты, а должна проезжать за 1/2 минуты, следовательно, её скорость должна быть 120 км/ч.

7.3. Ответ. Семь, это числа: 456, 546, 504, 540, 450, 564, 654. Решение. Числа должны делиться на 2 и сумма их цифр должна делиться на 3. Если трехзначное число содержит цифру 6, то в числе не может присутствовать цифра 0, иначе сумма цифр не будет делиться на 3. Кроме того, все числа будут четными и должны оканчиваться на четную цифру.

7.4. Ответ. 13. Решение. Сумма длин периметров всех треугольников и всех четырехугольников равна удвоенной сумме длин трех жирных отрезков плюс периметр большого треугольника. Поэтому сумма длин жирных отрезков равна половине разности суммы периметров всех треугольников и четырехугольников и периметра большого треугольника, т.е. (25+20-19)/2=13.

7.5. Ответ. 7. Решение. Первый турист двигался 60/5 = 12 часов, второй 60/12=5 часов, следовательно, второй турист отдыхал на 7 часов дольше первого. По условию, это равно общему времени отдыха первого туриста, равному произведению числа пеньков на время отдыха на каждом из них. Ввиду простоты числа 7 и того, что число пеньков больше одного, получаем ответ – 7 пеньков.