1. Есть десять карточек, у каждой из которых одна сторона белая, а другая — чёрная. Все они лежат на столе белой стороной вверх. Коля перевернул 5 карточек, затем Оля перевернула 6 карточек, после чего Миша перевернул 7 карточек. В результате все карточки оказались повёрнуты чёрной стороной вверх. Как это могло получиться?

2. Вычислить число , если

3. Найти площадь заштрихованной фигуры внутри квадрата на рисунке. Сторона квадрата равна 4a.

4. Во время перемирия за круглым столом разместились рыцари из двух враждующих кланов, причём оказалось, что число рыцарей, справа от которых сидит друг, равно числу рыцарей, справа от которых сидит враг. Доказать, что общее число рыцарей делится на 4.

5. В правильном треугольнике ABC со стороной а точки M, N, P, Q  расположены так, что MA + AN = PC + CQ = a. Найти величину угла NOQ, где О – точка пересечения NP и MQ.

1. В конце этих манипуляций все карточки лежат черной стороной вверх, поэтому каждая из них была перевернута 1 или 3 раза. Общее число переворотов равно 5+6+7=18, карточек 10, поэтому число вторых и третьих переворотов равно 8, значит, ровно 4 карточки были перевернуты трижды. Таким образом, Коля перевернул карточки с первой по пятую, Оля – с первой по четвертую, шестую и седьмую, Миша – с первой по четвертую и с восьмой по десятую.

4. Общее число рыцарей равно общему числу пар соседних рыцарей, сидящих за столом. Пары бывают дружественными, когда рядом сидят рыцари из одного из одного клана, и недружественными, когда рядом сидят рыцари из разных кланов. По условию, количества дружественных и недружественных пар равны, значит, общее число пар равно удвоенному числу недружественных пар. Далее, проходя по кругу, мы видим, что каждая недружественная пара соответствует переходу от одного клана к другому. Поскольку, замкнув круг, мы совершим четное число таких переходов, получаем, что число недружественных пар делится на два, а число всех пар – на четыре.

5. Ответ. 60°.