1. Есть десять карточек, у каждой из которых одна сторона белая, а другая — чёрная. Все они лежат на столе белой стороной вверх. Коля перевернул 5 карточек, затем Оля перевернула 6 карточек, после чего Миша перевернул 7 карточек. В результате все карточки оказались повёрнуты чёрной стороной вверх. Как это могло получиться?

2. Антикварный магазин, купив два предмета на общую сумму 360 рублей, продал их, получив 25% прибыли. За сколько был продан каждый предмет, если на первый была наценка 50%, а на второй – 12,5%?

3. Построить равнобедренный треугольник по данному периметру и высоте, опущенной на основание.

4. На учредительном собрании партии "Верный путь” 141 участник из 29 регионов второй день пытаются рассесться за круглым столом так, чтобы среди любых 35 подряд сидящих участников были представители всех регионов. Удастся ли этим достойным людям исполнить задуманное?

5. Найти третью сторону треугольника, если даны две стороны а и b и известно, что медианы, проведённые к этим сторонам, пересекаются под прямым углом.

1. Ответ. В конце этих манипуляций все карточки лежат чёрной стороной вверх, поэтому каждая из них была перевёрнута один или три раза. Общее число переворотов равно 5+6+7=18, карточек 10, поэтому число вторых и третьих переворотов равно 8, значит, ровно 4 карточки были перевёрнуты трижды. Таким образом, Коля перевернул карточки с 1 по 5, Оля – с 1 по 4,6 и 7, Миша – с 1 по 4 и с 8 по 10.

2. Ответ. Первый был продан за 180 рублей, второй – за 270.

3. Ответ. Полупериметр искомого треугольника равен сумме боковой стороны и половине основания. Если в искомом треугольнике провести высоту к основанию( лежащему на произвольной прямой), то для построения достаточно построить прямоугольный треугольник по катету и сумме другого катета и гипотенузы. Строим прямой угол, вершину которого обозначим за Е, на одной стороне откладываем данную высоту ЕА, на другой – полупериметр НМ. Соединяем концы построенных отрезков А и М. К середине отрезка АМ проводим перпендикуляр, который пересечёт отрезок ЕМ в точке В. Продолжив отрезок ВЕ за точку Е до точки С, так, что ВЕ=СЕ, получим искомый треугольник.

4. Ответ. Не удастся.

Предположим, они расселись требуемым в условии образом. Всего участников141, а регионов 29, поэтому есть регион Н, представленный на этом форуме не более, чем четырьмя участниками. Делегатов от других регионов не менее 137, поэтому между некоторыми из четырёх участников из Н сидят не менее 137/4=36,25, то есть не менее 37 человек, среди которых не будет участников из Н – противоречие.

5. Ответ. c =

Обозначим длины медиан, проведённых к сторонам a и b за m_a и m_b соответственно, а длину третьей стороны за c.