Возведение двучлена а + b в степень с показателем 2, 3, 4, 5 и треугольник Паскаля не вызывают затруднений у учащихся. Чтобы формула бинома Ньютона также не вызвала у них затруднений, надо показать, как находить коэффициенты разложения с помощью треугольника Паскаля, выполнить возведение двучлена в 5, 6, 7-ю степень с помощью треугольника Паскаля. Затем выполнить задание 2.14, позволяющее повторить правило вычисления чисел C n k и сравнить их с соответствующими коэффициентами разложений (а + х)n для n = 2, 3, 4.
Только теперь можно привести общую формулу бинома Ньютона. Доказательство этой формулы не является обязательным для обычных классов.
Приведем второе доказательство равенства
C n 0 + C n 1 + C n 2 +...+ C n n = 2 n , (1)
рассмотренного при решении задачи 1.74.
Формула бинома Ньютона имеет вид:
( a+b ) n = C n 0 a n + C n 1 a n−1 b+ C n 2 a n−2 b 2 +...+ C n n b n . (2)
Подставив в равенстве (2) число 1 вместо каждого из чисел а и b, получим равенство
2 n = C n 0 + C n 1 + C n 2 +...+ C n n ,
доказывающее равенство (1).
Решения и комментарии
2.15. Сколько членов в формуле бинома Ньютона при: а) n = 3; б) n = 5?
Решение. Разложение по формуле бинома Ньютона для (а + х)n содержит n + 1 член.
а) При n = 3 в формуле бинома Ньютона 4 члена.
б) При n = 5 в формуле бинома Ньютона 6 членов.
2.16. Сколько членов в формуле бинома Ньютона при: а) n = 2l; б) n = 2l + 1, где l — натуральное число? В каком из этих случаев имеется средний член в формуле бинома Ньютона?
Решение.
а) Если п = 2l, l∈ N, то число членов 2l + 1.
б) Если n = 2l + 1, l∈ N, то число членов 2l + 2.
В случае «а» число членов нечетное и имеется средний член C 2l l a l x l .
Промежуточный контроль. С—10.
| 