В данном пункте доказаны формулы:
arcsin ( −α )=−arcsin a, | a |≤1 ,
arccos ( −α )=π−arcsin a, | a |≤1 ,
arcsin ( sin α )=α, α∈[ − π 2 ; π 2 ] ,
arccos ( cos α )=α, α∈[ 0; π ] .
Здесь же приведены решения задач, связанных с вычислением arcsin ( sin α ) для α∉[ − π 2 ; π 2 ] , а также arccos ( cos α ) для α∉[ 0; π ] .
Решения и комментарии
7.103. Вычислите: г) arccos ( cos ( − π 4 ) ) ;
д) arcsin ( sin 5π 6 ) .
Решение. г) arccos ( cos ( − π 4 ) )=arccos ( cos π 4 )= π 4 , так как π 4 ∈[ 0; π ] ;
д) arcsin ( sin 5π 6 )=arcsin ( sin π 6 )= π 6 , так как π 6 ∈[ − π 2 ; π 2 ] .
7.104. Вычислите: a) arcsin ( sin 9 ) ; б) arccos ( cos 9 ) .
Решение. a) arcsin ( sin 9 )=arcsin ( sin ( 3π−9 ) )=3π−9 , так как 3π−9∈[ − π 2 ; π 2 ] ;
б) arccos ( cos 9 )=arccos ( cos ( 9−2π ) )=9−2π , так как 9−2π∈[ 0; π ] .
Дополнительное задание. Вычислите:
a) arccos (sin 0,8π); б) arcsin (cos 2).
Решение. а) Выразим sin 0,8π через косинус угла из промежутка [ 0; π ] : sin 0,8π=sin ( π 2 +0,3π )=cos 0,3π . Так как 0,3π∈[ 0; π ] , то
arccos (sin 0,8π) = arccos (cos 0,3π) = 0,3π.
б) Выразим cos 2 через синус угла из промежутка [ − π 2 ; π 2 ] : cos 2=sin ( π 2 −2 ) . Так как π 2 −2∈[ − π 2 ; π 2 ] , то
arcsin ( cos 2 )=arcsin ( sin ( π 2 −2 ) )= π 2 −2 .
| 