В данном пункте учебника доказаны формулы: sin 2α=2sin α cos α , (1) cos 2α= cos 2 α− sin 2 α , (2) sin 2 α 2 = 1−cos α 2 , (3) cos 2 α 2 = 1+cos α 2 . (4)
Идею доказательства формул (1) — (2) — в формулах для sin ( α+β ) и cos ( α+β ) заменить β на α — учащиеся должны обязательно знать. Не рекомендуем формулы (3) и (4) записывать в виде
sin α 2 =± 1−cos α 2 , cos α 2 =± 1+cos α 2 ,
так как учащиеся могут подумать, что для каждого α существует два значения sin α 2 или cos α 2 , а это не так.
Решения и комментарии
9.62. а) Докажите справедливость равенства
( sin α+sin β ) 2 + ( cos α+cos β ) 2 =4 cos 2 α−β 2 .
Доказательство.
( sin α+sin β ) 2 + ( cos α+cos β ) 2 = sin 2 α+2sin α sin β+ sin 2 β+ cos 2 α+ 2cos α cos β+ cos 2 β= =2+2sin α sin β+2cos α cos β= 2+2( cos α cos β+sin α sin β )= 2+2cos ( α−β )= = 2( 1+cos ( α−β ) )= 4 cos 2 α−β 2 ,
что и требовалось доказать. 9.63. а) Докажите справедливость равенства sin 2α( sin 2α+sin 2β )+cos 2α( cos 2α+cos 2β )=2 cos 2 ( α−β ) .
Доказательство.
sin 2α( sin 2α+sin 2β )+cos 2α( cos 2α+cos 2β )= = sin 2 2α+sin 2α sin 2β+ cos 2 2α+cos 2α cos 2β= = 1+cos ( 2α−2β )=2 cos 2 ( α−β ) ,
что и требовалось доказать. 9.64. а) Вычислите cos π 9 cos 2π 9 cos 4π 9 . Решение. Для решения этой задачи умножим и разделим выражение на 8sin π 9 ( sin π 9 ≠0 ) и преобразуем полученную дробь, применяя три раза формулу синуса двойного угла:
cos π 9 cos 2π 9 cos 4π 9 = 2( 2(2 sin π 9 cos π 9 )cos 2π 9 )cos 4π 9 8sin π 9 = 2( 2sin 2π 9 cos 2π 9 )cos 4π 9 8sin π 9 = 2sin 4π 9 cos 4π 9 8sin π 9 = sin 8π 9 8sin π 9 = 1 8 ,
так как sin 8π 9 =sin ( π− π 9 )=sin π 9 . Применение рассмотренного приема в следующем задании не так очевидно. Дополнительное задание. Вычислите cos 2π 5 −sin 3π 10 . Для решения задачи сначала приведем данное выражение к разности одноименных функций:
cos 2π 5 −sin 3π 10 =sin ( π 2 − 2π 5 )−sin 3π 10 =sin π 10 −sin 3π 10 .
Теперь, применив формулу разности синусов, получим:
sin π 10 −sin 3π 10 =2sin ( − π 10 )cos 2π 10 =−2sin π 10 cos 2π 10 .
Умножим и разделим полученное произведение на 2cos π 10 ( cos π 10 ≠0 ) и применим два раза формулу синуса двойного угла:
−2sin π 10 cos 2π 10 =− 2( 2sin π 10 cos π 10 )cos 2π 10 2cos π 10 = =− 2sin 2π 10 cos 2π 10 2cos π 10 =− sin 4π 10 2cos π 10 = =− sin ( π 2 − π 10 ) 2cos π 10 =− cos π 10 2cos π 10 =− 1 2 .
Итак, cos 2π 5 −sin 3π 10 =− 1 2 .
Промежуточный контроль. С—35.
|