Отметим, что основной формулой, из которой получаются остальные, является формула
cos ( α−β )=cos α cos β+sin α sin β . (1)
Она доказывается с помощью скалярного произведения векторов.
Для доказательства формулы
cos ( α+β )=cos α cos β−sin α sin β (2)
достаточно выполнить преобразование cos ( α+β )=cos ( α−( −β ) ) и применить формулу косинуса разности двух углов и свойства синуса и косинуса.
Решения и комментарии
9.7. Докажите справедливость равенства:
a) cos ( α− π 2 )=sin α ; г) cos ( 3π 2 +α )=sin α .
Здесь надо доказать формулы, аналогичные формулам для дополнительных углов из п. 9.2, поэтому способ доказательства, основанный на применении формул (1) — (2), должен быть усвоен учащимися.
Решение. a) cos ( α− π 2 )=cos α⋅cos π 2 +sin α⋅sin π 2 =cos α⋅0+sin α⋅1=sin α;
г) cos ( 3π 2 +α )=cos 3π 2 ⋅cos α−sin 3π 2 ⋅sin α= 0⋅cos α−( −1 )⋅sin α=sin α.
9.12. Вычислите: а) cos 135° ; б) cos 15° .
Решение. а) cos 135°=cos ( 90°+45° )=cos 90°⋅cos 45°− sin 90°⋅sin 45°=
= 0⋅ 2 2 −1⋅ 2 2 =− 2 2 ;
б) cos 15°=cos ( 45°−30° )=cos 45°⋅cos 30°+
+ sin 45°⋅sin 30°= 2 2 ⋅ 3 2 + 2 2 ⋅ 1 2 = 6 + 2 4 .
9.13. а) Вычислите cos 75°+cos 15° .
Решение. cos 75°+cos 15°=cos ( 45°+30° )+cos ( 45°−30° ) =
= cos 45°⋅cos 30°−sin 45°⋅sin 30°+cos 45°⋅cos 30°+ sin 45°⋅sin 30°=
= 2cos 45°⋅cos 30°= 2⋅ 2 2 ⋅ 3 2 = 6 2 .
9.14. Упростите выражение:
а) cos ( 45°+α )cos ( 45°−α )−sin ( 45°−α )sin ( 45°+α ) ;
б) cos ( 2π 3 +α )+cos ( 2π 3 −α )+cos α ;
в) cos 2 ( 60°+β )+ cos 2 ( 60°−β )+ cos 2 β .
Решение.
а) cos (45°+α)cos (45°−α)−sin (45°−α)sin (45°+α)=
= cos (45°+α+45°−α)=cos 90°=0 ;
б) cos ( 2π 3 +α )+cos ( 2π 3 −α )+cos α=
= cos 2π 3 cos α−sin 2π 3 sin α+cos 2π 3 cos α+sin 2π 3 sin α+cos α= 2cos 2π 3 cos α+cos α=
= 2⋅( − 1 2 )cos α+cos α=0 ;
в) cos 2 ( 60°+β )+ cos 2 ( 60°−β )+ cos 2 β=
= ( cos 60°⋅cos β−sin 60°⋅sin β ) 2 + ( cos 60°⋅cos β+sin 60°⋅sin β ) 2 + cos 2 β=
=2 cos 2 60° cos 2 β+2 sin 2 60° sin 2 β+ cos 2 β= 1 2 cos 2 β+ 3 2 sin 2 β+ cos 2 β=
= 3 2 ( sin 2 β+ cos 2 β)= 3 2 .
9.18. а) Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения α− 3 α .
Решение. Сначала преобразуем данное выражение:
cos α− 3 sin α=2( 1 2 cos α− 3 2 sin α )= 2( cos π 3 cos α−sin π 3 sin α )=2cos ( π 3 +α ).
Так как наибольшим и наименьшим значениями выражения cos ( π 3 +α ) являются числа 1 и –1 соответственно, то наибольшим и наименьшим значениями выражения cos α− 3 sin α являются числа 2 и –2 соответственно. | 