В данном пункте рассмотрено применение основного тригонометрического тождества, формул сложения, приемов понижения кратности угла и понижения степени уравнения.
Рассказывая о понижении степени уравнения, можно привести второй способ решения ранее рассмотренного уравнения sin 2 x= 1 3 :
sin 2 x= 1 3 ⇔ 1−cos 2x 2 = 1 3 ⇔cos 2x= 1 3 .
Все решения последнего в цепочке равносильных уравнений составляют серию решений x n =± 1 2 arccos 1 3 +πn, n∈ Z, которые и являются решениями исходного уравнения.
Замечание. При решении одного и того же уравнения (задание 11.4a) разными способами получены ответы, записанные разными способами:
x m =± arcsin 3 3 +πm, m∈ Z и x n =± 1 2 arccos 1 3 +πn, n∈ Z. (1)
Полезно убедиться, что серии x m и x n задают одну и ту же серию решений. Для этого достаточно доказать, что углы α=arcsin 3 3 и β= 1 2 arccos 1 3 равны. Так как α и β — углы из промежутка ( 0; π 2 ) , и на этом промежутке функция y=sin x принимает каждое значение один раз, то для доказательства равенства α и β достаточно доказать, что sin α=sin β .
Так как β∈( 0; π 2 ) , то sin β>0 , следовательно,
sin β= 1−cos 2β 2 = 1− 1 3 2 = 3 3 .
Так как α∈( 0; π 2 ) , то sin α>0 , поэтому sin α= 3 3 . Следовательно, sin α=sin β , а это означает, что α=β .
Итак, обе формулы (1) задают одну и ту же серию решений исходного уравнения.
Полезно обратить внимание учащихся на то, что в зависимости от способа решения уравнения ответ может быть записан в различных формах. Учащиеся должны уметь доказывать, что ответы, записанные разными способами, на самом деле одинаковы, но обязательным элементом решения уравнения это доказательство не является.
Решения и комментарии
11.17. а) Решите уравнение sin xcos π 3 +sin π 3 cos x=0 .
Решение. Используя формулу синуса суммы двух углов, перепишем исходное уравнение в виде sin ( x+ π 3 )=0 .
Множество всех решений последнего уравнения задается формулой x m + π 3 =πm, m∈ Z, откуда находим все решения исходного уравнения: x m =− π 3 +πm, m∈ Z.
11.18. Решите уравнение:
а) 3 2 sin x− 1 2 cos x=− 1 2 ;
в) sin x− 3 cos x=2 ;
д) sin x+cos x=−1 .
Решение. а) Перепишем исходное уравнение в виде
sin xcos π 6 −sin π 6 cos x=− 1 2 ,
sin ( x− π 6 )=− 1 2 .
Множество всех решений последнего уравнения задается формулами:
x m − π 6 =− π 6 +2πm, m∈ Z и x n − π 6 =− 5π 6 +2πn, n∈ Z,
откуда находим все решения исходного уравнения:
x m =2πm, m∈ Z; x n =− 2π 3 +2πn, n∈ Z.
в) Разделив исходное уравнение на число 2, перепишем его в виде
1 2 sin x− 3 2 cos x=1 ,
sin x cos π 3 −sin π 3 cos x=1 ,
sin ( x− π 3 )=1 .
Множество всех решений последнего уравнения задается формулой x m − π 3 = π 2 +2πm , откуда находим все решения исходного уравнения: x m = 5π 6 +2πm, m∈ Z.
д) Умножив исходное уравнение на число 2 2 , перепишем его в виде
2 2 sin x+ 2 2 cos x=− 2 2 ,
sin ( x+ π 4 )=− 2 2 .
Множество всех решений последнего уравнения задается формулами:
x m + π 4 =− π 4 +2πm, m∈ Z и x n + π 4 =− 3π 4 +2πn, n∈ Z.
откуда находим все решения исходного уравнения:
x m =− π 2 +2πm, m∈ Z; x n =−π+2πn, n∈ Z.
11.21. а) Решите уравнение
3cos 2x−5cos x=1 . (1)
Сколько решений это уравнение имеет на отрезке [ 0; 2π ] ?
Выпишите их.
Решение. Используя формулу косинуса двойного угла, перепишем уравнение (1) в виде
6 cos 2 x−5cos x−4=0 . (2)
Введем новое неизвестное t=cos x , уравнение (2) превратится в квадратное уравнение с неизвестным t:
6 t 2 −5t−4=0 ,
имеющее два корня: t 1 =− 1 2 и t 2 = 4 3 .
Следовательно, множество решений уравнения (2) есть объединение множеств решений двух уравнений:
cos x=− 1 2 и cos x= 4 3 .
Все решения первого из этих уравнений составляют две серии решений:
x m = 2π 3 +2πm, m∈ Z; x n =− 2π 3 +2πn, n∈ Z,
а второе уравнение решений не имеет. Следовательно, все решения уравнения (1) составляют те же две серии решений.
Отрезку [ 0; 2π ] принадлежат только одно число из серии xm (при m = 0) и только одно число из серии xn (при n = 1), всего два решения: 2π 3 и 4π 3 .
Итак, уравнение (1) имеет две серии решений: 2π 3 +2πm, m∈ Z; − 2π 3 +2πn, n∈ Z; отрезку [ 0; 2π ] принадлежат только два решения исходного уравнения: 2π 3 и 4π 3 .
11.23. а) Решите уравнение
cos 4x+6 sin 2 x=1 . (3)
Решение. Используя тождества cos 4x=2 cos 2 2x−1 и sin 2 x= 1−cos 2x 2 , перепишем уравнение (3) в виде
2 cos 2 2x−3cos 2x+1=0 . (4)
Введем новое неизвестное t=cos 2x , уравнение (4) превратится в квадратное уравнение с неизвестным t:
2 t 2 −3t+1=0 ,
имеющее два корня: t 1 = 1 2 и t 2 =1 .
Следовательно, множество решений уравнения (4) есть объединение множеств решений двух уравнений:
cos 2x= 1 2 и cos 2x=1 .
Все решения первого из этих уравнений составляют одну серию решений x m =± π 6 +πm, m∈ Z, а все решения второго уравнения составляют одну серию решений x k =πk, k∈ Z. Следовательно, все решения уравнения (3) составляют те же две серии решений.
Промежуточный контроль. С—41.
|
