Среда, 20.01.2021, 16:47
Ш  К  О  Л  А     П  И  Ф  А  Г  О  Р  А
      Предмет математики настолько серьезен, что нужно
не упускать случая, сделать его немного занимательным".
                                                                           Блез Паскаль
Главная | Регистрация | Вход Приветствую Вас Гость | RSS
ПАМЯТКИ ПО МАТЕМАТИКЕ   ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ   ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ   МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
УРОКИ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛЕ


МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КЛАДОВАЯ


В МИРЕ ЗАДАЧ
ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
МАТЕМАТИКА В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ
ВАРИ, КОТЕЛОК!
УДИВИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
В МИРЕ ИНТЕРЕСНОГО
Категории раздела
10 КЛАСС [78]
11 КЛАСС [65]
Статистика

Онлайн всего: 7
Гостей: 7
Пользователей: 0
Форма входа

Главная » Файлы » ПРЕПОДАЕМ АЛГЕБРУ И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА » 10 КЛАСС

Применение основных тригонометрических формул для решения уравнений
26.10.2014, 10:45
      В данном пункте рассмотрено применение основного тригонометрического тождества, формул сложения, приемов понижения кратности угла и понижения степени уравнения.
      Рассказывая о понижении степени уравнения, можно привести второй способ решения ранее рассмотренного уравнения sin 2   x= 1 3 :

sin 2   x= 1 3 ⇔ 1−cos 2x 2 = 1 3 ⇔cos 2x= 1 3 .

      Все решения последнего в цепочке равносильных уравнений составляют серию решений x n =± 1 2 arccos  1 3 +πn,  n∈  Z, которые и являются решениями исходного уравнения.
      Замечание. При решении одного и того же уравнения (задание 11.4a) разными способами получены ответы, записанные разными способами:
x m =± arcsin  3 3 +πm,  m∈  Z  и   x n =± 1 2 arccos  1 3 +πn,  n∈  Z.     (1)

      Полезно убедиться, что серии x m  и x n  задают одну и ту же серию решений. Для этого достаточно доказать, что углы α=arcsin  3 3  и β= 1 2 arccos  1 3  равны. Так как α и β — углы из промежутка ( 0;  π 2 ) , и на этом промежутке функция y=sin x  принимает каждое значение один раз, то для доказательства равенства α  и β  достаточно доказать, что sin α=sin β .
      Так как β∈( 0;  π 2 ) , то sin β>0 , следовательно,

sin β= 1−cos 2β 2 = 1− 1 3 2 = 3 3 .

Так как α∈( 0;  π 2 ) , то sin α>0 , поэтому sin α= 3 3 . Следовательно, sin α=sin β , а это означает, что α=β .
      Итак, обе формулы (1) задают одну и ту же серию решений исходного уравнения.
      Полезно обратить внимание учащихся на то, что в зависимости от способа решения уравнения ответ может быть записан в различных формах. Учащиеся должны уметь доказывать, что ответы, записанные разными способами, на самом деле одинаковы, но обязательным элементом решения уравнения это доказательство не является.

      Решения и комментарии

      11.17. а) Решите уравнение sin xcos  π 3 +sin  π 3 cos x=0 .
      Решение. Используя формулу синуса суммы двух углов, перепишем исходное уравнение в виде sin ( x+ π 3 )=0 .
      Множество всех решений последнего уравнения задается формулой x m + π 3 =πm,  m∈  Z, откуда находим все решения исходного уравнения: x m =− π 3 +πm,  m∈  Z.
      11.18. Решите уравнение:
      а)  3 2 sin x− 1 2 cos x=− 1 2 ;
      в)  sin x− 3 cos x=2 ;
      д)  sin x+cos x=−1 .
      Решение. а) Перепишем исходное уравнение в виде

sin xcos  π 6 −sin  π 6 cos x=− 1 2 ,
sin ( x− π 6 )=− 1 2 .

      Множество всех решений последнего уравнения задается формулами:

x m − π 6 =− π 6 +2πm,  m∈  Z  и x n − π 6 =− 5π 6 +2πn,  n∈  Z,

откуда находим все решения исходного уравнения:

x m =2πm,  m∈  Z;   x n =− 2π 3 +2πn,  n∈  Z.

      в) Разделив исходное уравнение на число 2, перепишем его в виде

1 2 sin x− 3 2 cos x=1 ,
sin⁡ x cos⁡  π 3 −sin⁡  π 3  cos⁡ x=1 ,
sin ( x− π 3 )=1 .

      Множество всех решений последнего уравнения задается формулой x m − π 3 = π 2 +2πm , откуда находим все решения исходного уравнения: x m = 5π 6 +2πm,  m∈  Z.
      д) Умножив исходное уравнение на число 2 2 , перепишем его в виде

2 2 sin x+ 2 2 cos x=− 2 2 ,
sin ( x+ π 4 )=− 2 2 .

      Множество всех решений последнего уравнения задается формулами:

x m + π 4 =− π 4 +2πm,  m∈  Z  и x n + π 4 =− 3π 4 +2πn,  n∈  Z.

откуда находим все решения исходного уравнения:

x m =− π 2 +2πm,  m∈  Z; x n =−π+2πn,  n∈  Z.

      11.21. а) Решите уравнение
3cos 2x−5cos x=1 .     (1)

      Сколько решений это уравнение имеет на отрезке [ 0; 2π ] ?
      Выпишите их.
      Решение. Используя формулу косинуса двойного угла, перепишем уравнение (1) в виде
6 cos 2   x−5cos x−4=0 .     (2)

      Введем новое неизвестное t=cos x , уравнение (2) превратится в квадратное уравнение с неизвестным t:

6 t 2 −5t−4=0 ,

имеющее два корня: t 1 =− 1 2  и t 2 = 4 3 .
      Следовательно, множество решений уравнения (2) есть объединение множеств решений двух уравнений:

cos x=− 1 2    и   cos x= 4 3 .

      Все решения первого из этих уравнений составляют две серии решений:

x m = 2π 3 +2πm,  m∈  Z;   x n =− 2π 3 +2πn,  n∈  Z,

а второе уравнение решений не имеет. Следовательно, все решения уравнения (1) составляют те же две серии решений.
      Отрезку [ 0; 2π ]  принадлежат только одно число из серии xm (при m = 0) и только одно число из серии xn (при n = 1), всего два решения: 2π 3  и 4π 3 .
      Итак, уравнение (1) имеет две серии решений: 2π 3 +2πm,  m∈  Z; − 2π 3 +2πn,  n∈  Z; отрезку [ 0; 2π ]  принадлежат только два решения исходного уравнения: 2π 3  и 4π 3 .
      11.23. а) Решите уравнение
cos 4x+6 sin 2   x=1 .     (3)

      Решение. Используя тождества cos 4x=2 cos 2   2x−1  и sin 2   x= 1−cos 2x 2 , перепишем уравнение (3) в виде
2 cos 2   2x−3cos 2x+1=0 .     (4)

      Введем новое неизвестное t=cos 2x , уравнение (4) превратится в квадратное уравнение с неизвестным t:

2 t 2 −3t+1=0 ,

имеющее два корня: t 1 = 1 2  и t 2 =1 .
      Следовательно, множество решений уравнения (4) есть объединение множеств решений двух уравнений:

cos 2x= 1 2   и cos 2x=1 .

      Все решения первого из этих уравнений составляют одну серию решений x m =± π 6 +πm,  m∈  Z, а все решения второго уравнения составляют одну серию решений x k =πk,  k∈  Z. Следовательно, все решения уравнения (3) составляют те же две серии решений.

      Промежуточный контроль. С—41.
Категория: 10 КЛАСС | Добавил: admin | Теги: советы по преподаванию алгебры в 10, Методика преподавания математики в, поурочное планирование алгебры в 10, Уроки математики
Просмотров: 1545 | Загрузок: 0 | Рейтинг: 0.0/0
УЧИТЕЛЮ ИНФОРМАТИКИ
КОНСПЕКТЫ УРОКОВ
ВНЕКЛАССНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ПОСОБИЯ И МЕТОДИЧКИ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ЗАДАНИЯ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ


ИНФОРМАТИКА В ШКОЛЕ


ИНФОРМАТИКА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ
ИНФОРМАТИКА В 3 КЛАССЕ
ИНФОРМАТИКА В 4 КЛАССЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 3 КЛАСС
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 4 КЛАСС
ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДЛЯ ДЕТЕЙ
СКАЗКА "ПРИКЛЮЧЕНИЯ ЭЛЕКТРОШИ"
ИГРОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ НА УРОКАХ ИНФОРМАТИКИ
ИГРОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ВИКТОРИНЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ
КОМПЬЮТЕРНЫЕ ЧАСТУШКИ
ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ
Поиск


Друзья сайта
  • Создать сайт
  • Все для веб-мастера
  • Программы для всех
  • Мир развлечений
  • Лучшие сайты Рунета
  • Кулинарные рецепты

  • Copyright MyCorp © 2021
    Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru