В пункте рассмотрено применение арксинуса и арккосинуса для нахождения всех углов, для каждого из которых справедливо неравенство sin α>a ( sin α<a ) ; cos α>a ( cos α<a ) . Тем самым подготовлена база для изучения решения простейших тригонометрических неравенств для синусов и косинусов. Ясно, что это другая формулировка задачи: для данного числа а решите неравенство sin α>a ( sin α<a ) ; cos α>a ( cos α<a ) , где неизвестное — угол α . Отметим, что углы здесь обычно измеряют в радианах, хотя их можно измерять и в градусах.
Главная трудность в решении рассматриваемых задач заключается в правильном изображении соответствующих точек единичной окружности — границ промежутков и в правильном чтении получаемых промежутков.
Решения и комментарии
В заданиях 7.94—7.96, по сути, требуется решить простейшие тригонометрические неравенства, но задача формулируется в других терминах. Здесь использованы все табличные значения sin α и cos α , а в задании 7.97 надо использовать арксинус или арккосинус числа.
7.97. а) Найдите все такие углы α , для каждого из которых sin α> 1 4 .
Решение. Сначала найдем углы из промежутка [ 0; π ] , для каждого из которых sin α= 1 4 . Это углы α 1 =arcsin 1 4 и α 2 =π−arcsin 1 4 (рис. 33).
Теперь найдем все искомые углы α , для каждого из которых sin α> 1 4 (им соответствуют точки единичной окружности, выделенные на рисунке 33 жирной дугой):
arcsin 1 4 +2πk<α<π−arcsin 1 4 +2πk, k∈ Z.
7.98. а) Найдите все такие углы α , для каждого из которых sin α<1 .
Решение. Очевидно, что условию sin α<1 удовлетворяют все углы α , кроме таких α= α n , для которых sin α n =1 , т. е. кроме α n = π 2 +2πn, n∈ Z (на рисунке 34 точки единичной окружности, соответствующие таким углам, выделены жирной дугой). Итак, α — любой угол, отличный от углов α n , или коротко:
α≠ π 2 +2πn, n∈ Z.
Ответ можно записать иначе, как в учебнике:
π 2 +2πn<α< 5π 2 +2πn, n∈ Z. | 