В данном пункте учебника доказаны формулы синуса суммы и синуса разности двух углов:
sin ( α−β )=sin α cos β−cos α sin β ,
sin ( α+β )=sin α cos β+cos α sin β .
Обратим внимание на то, что в учебнике уже доказаны формулы для sin ( π+α ) , cos ( π+α ) (п. 7.4), cos ( π 2 −α ) и sin ( π 2 −α ) (п. 9.2). Только с доказательством формул для cos ( α±β ) и sin ( α±β ) появилась возможность доказать формулы для cos ( πk 2 ±α ) и sin ( πk 2 ±α ) для любого целого k.
Так как значения синуса и косинуса не изменяются от прибавления (вычитания) 2π к аргументу, то синус (косинус) любого из указанных выше аргументов нетрудно свести к синусу (косинусу) аргументов π 2 −α , π 2 +α , π−α , π+α , 3π 2 −α , 3π 2 +α , которые можно привести к аргументу α , применяя формулы синуса (косинуса) суммы (разности) двух углов.
Выпишем все 12 формул для указанных выше шести аргументов:
sin ( π 2 −α )=cos α, sin ( π 2 +α )=cos α, sin ( π−α )=sin α, cos ( π 2 −α )=sin α, cos ( π 2 +α )=−sin α, cos ( π−α )=−cos α, sin ( 3π 2 −α )=−cos α, sin ( 3π 2 +α )=−cos α, sin ( π+α )=−sin α, cos ( 3π 2 −α )=−sin α, cos ( 3π 2 +α )=sin α, cos ( π+α )=−cos α.
Все эти формулы можно воспроизводить с помощью следующего мнемонического правила:
1) Если первое слагаемое аргумента есть π 2 или 3π 2 , то в правой части формулы надо заменить синус на косинус (косинус на синус). Если первое слагаемое аргумента π , то менять синус (косинус) не надо.
2) В правой части формулы надо поставить знак «–», только если для острого угла α значение синуса (косинуса) в левой части формулы отрицательно.
Эти формулы называют часто формулами приведения (аргумента к более простому виду). Но специального пункта «Формулы приведения» в учебнике нет. Однако стоит уделить внимание известному мнемоническому правилу, позволяющему правильно воспроизводить любую из формул приведения. Это правило отвечает на два вопроса: 1) менять или не менять наименование функции (синус на косинус, косинус на синус); 2) ставить или нет в правой части формулы знак «–»?
Но известен и менее формальный его вариант, который учителя математики передают из поколения в поколение. Обычно рассказывают такую историю.
В старые добрые времена жил рассеянный математик, который при поиске ответа на вопрос 1 смотрел на свою ученую лошадь, а она кивала головой вдоль той оси координат, которой принадлежала точка, соответствующая первому слагаемому аргумента π 2 ±α, π±α, 3π 2 ±α, … . Если лошадь кивала головой вдоль оси Оу, то математик считал, что получен ответ «да, менять», если вдоль оси Ox — «нет, не менять».
Можно посоветовать учащимся, за неимением ученой лошади, самим кивать головой вдоль той оси координат, которой принадлежит точка, соответствующая первому слагаемому аргумента. Так они получат ответ на вопрос 1. Разумеется, они должны понимать, что это шутка, что формулы доказаны, а «лошадиное» правило лишь помогает им определить функцию угла α для правой части формулы.
Ответ на вопрос 2 получается так. Хотя формулы приведения доказаны для любого угла α , достаточно определить знак левой части формулы для острого угла α и поставить его перед sin α или cos α в правой части формулы.
Например, sin ( 3π 2 −α )=−cos α ; cos ( 3π 2 +α )=sin α .
Решения и комментарии
9.30. Упростите выражение:
а) 3 2 sin α− 1 2 cos α ; б) 2 2 ( cos α−sin α ) .
При решении этого задания формулы (1) и (2) применяются для формирования умения преобразовывать тригонометрические выражения с помощью вспомогательного угла. Тот же прием используется при решении задания 9.33.
Решение.
а) 3 2 sin α− 1 2 cos α=cos π 6 sin α−sin π 6 cos α=sin ( α− π 6 ) ;
б) 2 2 ( cos α−sin α )=cos π 4 cos α−sin π 4 sin α=cos ( π 4 +α ) .
9.33. б) Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения 5cos α+12sin α .
Решение. Так как 5 2 + 12 2 =13 , то 5cos α+12sin α=13( 5 13 cos α+ 12 13 sin α )=A .
Так как ( 5 13 ) 2 + ( 12 13 ) 2 =1 , то найдется угол β , такой, что sin β= 5 13 , а cos β= 12 13 . Тогда A=13( sin βcos α+sin α cos β )=13sin ( β+α ) .
Так как наибольшее и наименьшее значения выражения sin ( β+α ) равны 1 и –1 соответственно, то наибольшее и наименьшее значения выражения А равны 13 и –13 соответственно.
Промежуточный контроль. С—32, С—33.
|
