В пункте приведены приемы решения уравнений, которые после замены неизвестного сводятся к простейшим показательным или логарифмическим уравнениям.
Решения и комментарии
6.19. а) Решите уравнение 3 4 x 2 −6x+3 −10⋅ 3 2 x 2 −3x+1 +3=0 .
Решение. Перепишем исходное уравнение в виде
3⋅ 3 2( 2 x 2 −3x+1 ) −10⋅ 3 2 x 2 −3x+1 +3=0 . (1)
Введя новое неизвестное t= 3 2 x 2 −3x+1 , перепишем уравнение (1) в виде
3 t 2 −10t+3=0 .
Это уравнение имеет два корня: t 1 =3 , t 2 = 1 3 , следовательно, чтобы найти все корни уравнения (1), надо объединить все корни двух уравнений:
3 2 x 2 −3x+1 =3 и 3 2 x 2 −3x+1 = 1 3 .
Первое из этих уравнений равносильно уравнению 2 x 2 −3x+1=1 , которое имеет корни 0 и 1,5, а второе уравнение равносильно уравнению 2 x 2 −3x+1=−1 , которое корней не имеет. Следовательно, исходное уравнение имеет только два корня: 0 и 1,5.
6.24. а) Решите уравнение 3 x+1 − 2 3 x+1 −2 =1 .
Решение. Введя новое неизвестное t= 3 x+1 , перепишем исходное уравнение в виде
t− 2 t−2 =1 . (2)
Уравнение (2) имеет два корня: t 1 =3 , t 2 =0 , следовательно, чтобы найти все корни исходного уравнения, надо объединить все корни двух уравнений:
3 x+1 =3 и 3 x+1 =0 .
Первое из этих уравнений имеет единственный корень 0, а второе корней не имеет. Следовательно, исходное уравнение имеет только один корень 0.
Особое внимание нужно уделить однородным показательным уравнениям. Выше уже разобраны решения однородного показательного уравнения первой степени (задание 6.8). В данном пункте учебника разобрано решение однородного уравнения второй степени. Для подготовки к самостоятельной работе С—23 (после изучения однородных неравенств) можно использовать следующие задания.
Дополнительные задания. Решите уравнение:
1. а) 9⋅ 2 x −4⋅ 3 x =0 ;
б) 125⋅ 4 x −64⋅ 5 x =0 ;
в) 2 x+4 +11⋅ 2 x =8⋅ 3 x ;
г) 25⋅ 7 x =2⋅ 5 x+2 − 5 x .
2. а) 12 x + 18 x =2⋅ 27 x ;
б) 2⋅ 5 2x + 10 x =15⋅ 4 x ;
в) 5 2x+1 +6⋅ 20 x = 4 2x+1,5 ;
г) 4⋅ 8 x − 12 x = 18 x+1 .
3. а) 27⋅ 4 1 x −30⋅ 6 1 x +8⋅ 9 1 x =0 ;
б) 125⋅ 4 1 x −70⋅ 10 1 x +8⋅ 25 1 x =0 ;
в) 8⋅ 49 1 x −126⋅ 14 1 x +343⋅ 4 1 x =0 ;
г) 64⋅ 9 1 x +12⋅ 12 1 x −27⋅ 16 1 x =0 .
Ответы. 1. а) 2; б) 3; в) 3; г) 2.
2. а) 0; б) 1; в) –1; г) –2.
3. а) 1, 1 2 ; б) 1, 1 2 ; в) 1, 1 2 ; г) 1 2 .
Промежуточный контроль. С—21.
| 