Среда, 27.01.2021, 19:18
Ш  К  О  Л  А     П  И  Ф  А  Г  О  Р  А
      Предмет математики настолько серьезен, что нужно
не упускать случая, сделать его немного занимательным".
                                                                           Блез Паскаль
Главная | Регистрация | Вход Приветствую Вас Гость | RSS
ПАМЯТКИ ПО МАТЕМАТИКЕ   ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ   ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ   МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
УРОКИ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛЕ


МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КЛАДОВАЯ


В МИРЕ ЗАДАЧ
ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
МАТЕМАТИКА В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ
ВАРИ, КОТЕЛОК!
УДИВИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
В МИРЕ ИНТЕРЕСНОГО
Категории раздела
10 КЛАСС [78]
11 КЛАСС [65]
Статистика

Онлайн всего: 16
Гостей: 16
Пользователей: 0
Форма входа

Главная » Файлы » ПРЕПОДАЕМ АЛГЕБРУ И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА » 10 КЛАСС

Замена неизвестного t = sin x + cos x
26.10.2014, 10:34
      В данном пункте рассмотрен специальный прием решения уравнений и неравенств, содержащих выражения sin x+cos x  (или sin x−cos x ) и sin xcos x .

      Решения и комментарии

      11.56. а) Решите уравнение
2sin xcos x+sin x+cos x=1 .     (1)

      Решение. Сделаем замену неизвестного t=sin x+cos x  и выразим через t выражение 2sin xcos x :

t 2 =1+2sin xcos x , откуда 2sin xcos x= t 2 −1 ,

поэтому уравнение (1) перепишется в виде
t 2 +t−2=0 .     (2)

      Уравнение (2) имеет два корня: t 1 =1  и t 2 =−2 , следовательно, множество решений уравнения (1) есть объединение множеств решений двух уравнений:

sin x+cos x=1  и sin x+cos x=−2 .

      Перепишем эти уравнения с помощью введения вспомогательного угла:

sin ( x+ π 4 )= 2 2  и sin ( x+ π 4 )=− 2 .

      Первое уравнение имеет две серии решений: x n =2πn,  n∈  Z  и x k = π 2 +2πk,  k∈  Z, а второе уравнение не имеет решений, так как sin ( x+ π 4 )≥−1  для любого x∈  R, а − 2 <−1 .
      Итак, уравнение (1) имеет две серии решений: x n =2πn,  n∈  Z  и x k = π 2 +2πk,  k∈  Z.
      11.58. а) Решите уравнение
sin 3   x+ cos 3   x=sin 2x+1 .     (3)

      Решение. Перепишем уравнение (3) в виде
( sin x+cos x )( 1−sin xcos x )=2sin xcos x+1 .     (4)

      Используя замену неизвестного t=sin x+cos x , перепишем уравнение (4) в виде
t( 1− t 2 −1 2 )= t 2 .     (5)

      Уравнение (5) имеет три корня: t 1 =0,   t 2 =1  и   t 3 =−3,   следовательно, множество решений уравнения (3) есть объединение множеств решений трех уравнений:

sin x+cos x=0 , sin x+cos x=1  и sin x+cos x=−3 .

      Решим эти уравнения введением вспомогательного угла.
      Первое из них имеет одну серию решений: x n =− π 4 +πn,  n∈  Z, второе — две серии решений: x m = π 2 +2πm,  m∈  Z и x k =2πk,  k∈  Z, а третье не имеет решений, так как sin x+cos x>−2  для любого x∈  R, a −3<−2 .
      Итак, уравнение (3) имеет три серии решений: x m ,   x n   и   x k .
      11.59. а) Решите неравенство
sin 2x−3sin x−3cos x+3<0 .     (6)

      Решение. Используя замену неизвестного t=sin x+cos x , перепишем неравенство (6) в виде
t 2 −3t+2<0 .     (7)

      Все решения неравенства (7) есть все t из промежутка 1<t<2 , следовательно, множество решений неравенства (6) совпадает с множеством решений двойного неравенства
1<sin x+cos x<2 .     (8)

      Используя введение вспомогательного угла, перепишем это неравенство (8) в виде 2 2 <sin ( x+ π 4 )< 2 .
      Неравенство sin ( x+ π 4 )< 2  справедливо для любого x∈  R, а все решения неравенства sin ( x+ π 4 )< 2 2  задаются условиями π 4 +2πn<x+ π 4 < 3π 4 +2πn,  n∈  Z, откуда найдем все решения неравенства (8):

2πn<x< π 4 +2πn,  n∈  Z.

      Итак, решения неравенства (6) составляют серии интервалов ( 2πn;  π 2 +2πn ),  n∈  Z.

      Промежуточный контроль. С—44, С—45 (повторение).
      Контрольная работа № 7.
Категория: 10 КЛАСС | Добавил: admin | Теги: советы по преподаванию алгебры в 10, Методика преподавания математики в, поурочное планирование алгебры в 10, Уроки математики
Просмотров: 2060 | Загрузок: 0 | Рейтинг: 0.0/0
УЧИТЕЛЮ ИНФОРМАТИКИ
КОНСПЕКТЫ УРОКОВ
ВНЕКЛАССНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ПОСОБИЯ И МЕТОДИЧКИ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ЗАДАНИЯ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ


ИНФОРМАТИКА В ШКОЛЕ


ИНФОРМАТИКА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ
ИНФОРМАТИКА В 3 КЛАССЕ
ИНФОРМАТИКА В 4 КЛАССЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 3 КЛАСС
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 4 КЛАСС
ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДЛЯ ДЕТЕЙ
СКАЗКА "ПРИКЛЮЧЕНИЯ ЭЛЕКТРОШИ"
ИГРОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ НА УРОКАХ ИНФОРМАТИКИ
ИГРОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ВИКТОРИНЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ
КОМПЬЮТЕРНЫЕ ЧАСТУШКИ
ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ
Поиск


Друзья сайта
  • Создать сайт
  • Все для веб-мастера
  • Программы для всех
  • Мир развлечений
  • Лучшие сайты Рунета
  • Кулинарные рецепты

  • Copyright MyCorp © 2021
    Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru