В данном пункте рассмотрен специальный прием решения уравнений и неравенств, содержащих выражения sin x+cos x (или sin x−cos x ) и sin xcos x .
Решения и комментарии
11.56. а) Решите уравнение 2sin xcos x+sin x+cos x=1 . (1)
Решение. Сделаем замену неизвестного t=sin x+cos x и выразим через t выражение 2sin xcos x :
t 2 =1+2sin xcos x , откуда 2sin xcos x= t 2 −1 ,
поэтому уравнение (1) перепишется в виде t 2 +t−2=0 . (2)
Уравнение (2) имеет два корня: t 1 =1 и t 2 =−2 , следовательно, множество решений уравнения (1) есть объединение множеств решений двух уравнений:
sin x+cos x=1 и sin x+cos x=−2 .
Перепишем эти уравнения с помощью введения вспомогательного угла:
sin ( x+ π 4 )= 2 2 и sin ( x+ π 4 )=− 2 .
Первое уравнение имеет две серии решений: x n =2πn, n∈ Z и x k = π 2 +2πk, k∈ Z, а второе уравнение не имеет решений, так как sin ( x+ π 4 )≥−1 для любого x∈ R, а − 2 <−1 . Итак, уравнение (1) имеет две серии решений: x n =2πn, n∈ Z и x k = π 2 +2πk, k∈ Z. 11.58. а) Решите уравнение sin 3 x+ cos 3 x=sin 2x+1 . (3)
Решение. Перепишем уравнение (3) в виде ( sin x+cos x )( 1−sin xcos x )=2sin xcos x+1 . (4)
Используя замену неизвестного t=sin x+cos x , перепишем уравнение (4) в виде t( 1− t 2 −1 2 )= t 2 . (5)
Уравнение (5) имеет три корня: t 1 =0, t 2 =1 и t 3 =−3, следовательно, множество решений уравнения (3) есть объединение множеств решений трех уравнений:
sin x+cos x=0 , sin x+cos x=1 и sin x+cos x=−3 .
Решим эти уравнения введением вспомогательного угла. Первое из них имеет одну серию решений: x n =− π 4 +πn, n∈ Z, второе — две серии решений: x m = π 2 +2πm, m∈ Z и x k =2πk, k∈ Z, а третье не имеет решений, так как sin x+cos x>−2 для любого x∈ R, a −3<−2 . Итак, уравнение (3) имеет три серии решений: x m , x n и x k . 11.59. а) Решите неравенство sin 2x−3sin x−3cos x+3<0 . (6)
Решение. Используя замену неизвестного t=sin x+cos x , перепишем неравенство (6) в виде t 2 −3t+2<0 . (7)
Все решения неравенства (7) есть все t из промежутка 1<t<2 , следовательно, множество решений неравенства (6) совпадает с множеством решений двойного неравенства 1<sin x+cos x<2 . (8)
Используя введение вспомогательного угла, перепишем это неравенство (8) в виде 2 2 <sin ( x+ π 4 )< 2 . Неравенство sin ( x+ π 4 )< 2 справедливо для любого x∈ R, а все решения неравенства sin ( x+ π 4 )< 2 2 задаются условиями π 4 +2πn<x+ π 4 < 3π 4 +2πn, n∈ Z, откуда найдем все решения неравенства (8):
2πn<x< π 4 +2πn, n∈ Z.
Итак, решения неравенства (6) составляют серии интервалов ( 2πn; π 2 +2πn ), n∈ Z.
Промежуточный контроль. С—44, С—45 (повторение). Контрольная работа № 7. |