Материал данного параграфа не является обязательным для изучения. Учитель сам вправе решить, знакомить ли учащихся с теоретическим материалом.
Вывод формулы, с помощью которой извлекается корень натуральной степени из комплексного числа, основан на равенстве комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме.
Решая задачи 1 и 2, ученики могут просто воспользоваться готовой формулой. Здесь важно понять, почему из всех целых чисел k выбираются значения от 0 до п − 1. Полезно при решении, например, задачи 1 проследить, что при значениях k, равных 5, 6, 7, значения корней повторяются. В задаче 2 демонстрируется наличие шести корней уравнения шестой степени с комплексными неизвестными. Это несложное уравнение помогает осознать суть основной теоремы алгебры и следствия из нее.
Решение упражнений
75. 6) Решение уравнения сводится к вычислению корня четвертой степени из числа 1 + i. Здесь а = 1, b = 1, tg φ = 1, | z |= 2 . Следовательно, в тригонометрической форме 1+i= 2 ( cos π 4 +isin π 4 ) . По формуле (1)
z k = 2 4 ( cos π 4 +2πk 4 +isin π 4 +2πk 4 )=
= 2 8 ( cos π+8πk 16 +isin π+8πk 16 ) ,
где k = 0, 1, 2, 3. Отсюда найдем корни уравнения
z 0 = 2 8 ( cos π 16 +isin π 16 ) ,
z 1 = 2 8 ( cos 9π 16 +isin 9π 16 ) , z 2 = 2 8 ( cos 17π 16 +isin 17π 16 ) ,
z 3 = 2 8 ( cos 25π 16 +isin 25 16 ).
76. 2) Пусть z4 = t, тогда уравнение примет вид 36t2 − 13t + 1 = 0, откуда t 1 = 1 4 , t 2 = 1 9 . Следовательно, z 4 = 1 4 или z 4 = 1 9 . Решим первое уравнение z 4 = 1 4 +i0 . Здесь a= 1 4 , b = 0, φ = 0, | 1 4 |= 1 4 . Найдем корни уравнения, применяя формулу (1). Получим
z 0 = 1 4 4 ( cos 2π⋅0 4 +isin 2π⋅0 4 )= 1 2 ,
z 1 = 1 2 ( cos π 2 +isin π 2 )=i 1 2 , z 2 = 1 2 (cos π+isin π)=− 1 2 ,
z 3 = 1 2 ( cos 3π 2 +isin 3π 2 )=−i 1 2 .
Уравнение z 4 = 1 9 решаем аналогично.
3) Число 1 является делителем свободного члена, и при x = 1 значение многочлена, стоящего в правой части, равно 0. Следовательно, х = 1 — корень уравнения. Понизим степень уравнения, разделим на х − 1. Многочлен частного также делится на х − 1 без остатка, причем теперь в частном получим двучлен z2 + 1, который имеет корни ±i. Таким образом, уравнение имеет 4 корня z1 = z2 = 1, z3, 4 = ±i. | 