Цель изучения параграфа — обучение нахождению наибольшего и наименьшего значений функции с помощью производной.
В общеобразовательных классах изучение материала параграфа желательно рассматривать в следующей последовательности: 1) алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции (2-й абзац), задачи 1 и 3; 2) рассуждения о решении прикладных задач (3-й абзац), задача 4; 3) замечание (4-й абзац), задача 2. В профильных классах теоретический материал (до задачи 1) можно рассмотреть единым блоком, после чего разобрать задачи 1, 3, 2, 4, 5 в указанной последовательности, закрепляя на соответствующих упражнениях полученные умения.
Учащимся общеобразовательных классов можно посоветовать записать в тетради алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f (x) на отрезке [а; b]: 1) найти значение функции на концах отрезка, т. е. числа f (a) и f (b); 2) найти ее значения в критических точках, принадлежащих интервалу (а; b); 3) из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
На втором уроке можно провести проверочную самостоятельную работу.
1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = x4 − 8x2 + 5 [f (x) = x4 − 18x2 + 30] на отрезке [−3; 2] [[−4; 3]].
2. Найти наименьшее значение функции f(x)= e x x−1 [ f(x)= x 2 e x ] на интервале х > 1 [х > 0].
В результате изучения параграфа все учащиеся должны уметь находить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке в упражнениях типа 15—17; учащиеся профильных классов должны уметь решать прикладные задачи типа 20—23 на нахождение наибольшего (наименьшего) значения функции на интервале.
Решение упражнений
28. 1) y= x 2 (1−x) 3 , y ′ = 1 3 ( x 2 (1−x)) − 2 3 (2x−3 x 2 ), 0 < x < 1. На интервале (0; 1) имеется одна точка экстремума x 0 = 2 3 (точка максимума), причем y( 2 3 )= ( 2 3 ) 2 ⋅ 1 3 3 = 4 3 3 .
30. 1) f (−1) = 2, f (1) = 0, f (2) = 1. На интервалах (−1; 1) и (1; 2) уравнение f ′ (x) = 0 корней не имеет, значит, на отрезке [−1; 2] М = 2, т = 0.
31. Площадь прямоугольника S (x) = х (3 − х2) — функция, заданная на x∈( 0; 3 ) . S′ (x) = 3 − 3x2, S′ (x) = 0 при x = ±1. Интервалу ( 0; 3 ) принадлежит критическая точка х = 1. На интервале (0; 1) выполняется неравенство S′ (x) > 0, на интервале ( 1; 3 ) — неравенство S′ (x) < 0, поэтому S (1) = 2 — наибольшая площадь прямоугольника, удовлетворяющего условию задачи.
32. Стороны прямоугольника x и p 2 −x, его диагональ f(x)= x 2 + ( p 2 −x ) 2 , причем 0<x< p 2 . f ′ (x)= 4x−p 2 x 2 + ( p 2 −x ) 2 ; f ′ (x) = 0 при x= p 4 . На интервале ( 0; p 4 ) выполняется неравенство f ′ (x) < 0, а на интервале ( p 4 ; p 2 ) — неравенство f ′ (x) > 0. Значит, f( p 4 )= p 2 16 + ( p 2 − p 4 ) 2 = p 2 8 = p 2 4 — наименьшее значение диагонали прямоугольника с периметром p. | 