Цель изучения параграфа — ознакомить учащихся с различными методами решения нелинейных уравнений и неравенств, систем нелинейных уравнений и неравенств.
Теоретический материал параграфа рассчитан в основном на учащихся профильных классов. Для учащихся общеобразовательных классов задания желательно адаптировать: предлагать решения задач с уже явно заданными уравнениями прямых и кривых. Необходимость выполнения предварительных преобразований уводит от сути решения, которая на данном этапе состоит в выявлении на координатной плоскости изображения множества точек, являющихся решением поставленной задачи.
С учащимися общеобразовательных классов достаточно рассмотреть задачи 1, 2, 5, 7, 8, 11 и выполнить упражнения 9, 12 (1, 2), 14 (2, 3), 16 (1, 2).
Изучив детально задачу 1, можно решить упражнение 9. Перед каждым заданием необходимо провести анализ условия, чтобы ученики видели, какие выражения они могут получить в результате преобразования. Нужно выяснить, можно ли выделить полный квадрат (задания 3, 4, 5), либо можно разложить это выражение на линейные множители (задания 1, 2, 6), либо нужно применить определение модуля (задания 7, 8). Если учащимся трудно выполнить преобразования, учитель может дать готовые результаты, а ученики должны сами интерпретировать ответ. Например, в упражнении 9 (2) данное выражение нужно представить в виде (2х − у + 1) (х + 3у) = 0; в упражнении 9 (3, 4, 5) соответственно представить в виде
2 (х + 1)2 + 3 (у − 2)2 = 0, (x − 1)2 + (у + 2)2 = 5 3 , (х − у)2 + (у − 2)2 = 0.
Учащимся останется объяснить, что же является множеством решений того или иного уравнения.
После ознакомления с решением задачи 5 можно решить упражнение 12, но тоже предварительно записать, например, задание 1 в виде ( x+ 1 2 ) 2 + ( y− 3 2 ) 2 >9 . Упражнение 12 (2) обсудить вместе и убедиться в том, что для у ≥ 0 получаем неравенство х2 + (у − 2)2 < 4, для у < 0 — неравенство х2 + (у + 2)2 < 4. Важно, чтобы все поняли, что решением является объединение кругов с центрами в точках (0; 2) и (0; −2) и радиусами, равными 2.
Упражнение 14 (2, 3), после анализа задач 7 и 8 параграфа можно выполнить с учащимися полностью. В обоих заданиях достаточно просто выделяются полные квадраты, построить параболу и окружность во втором задании, две окружности в третьем не составит труда.
Решение систем нелинейных неравенств достаточно рассмотреть на примере задачи 11 и при выполнении упражнения 16 (1, 2): учащимся предстоит построить окружность заданного радиуса и учесть, что значения х в одном задании, значения у в другом больше или равны некоторым числам. Здесь важно, чтобы учащиеся правильно выделили фигуру, площадь которой нужно найти.
Учащимся профильных классов желательно решить все упражнения, о которых говорилось выше, и, кроме того, решить задачи, не помеченные буквой М. В этих классах изучение материала параграфа можно провести в форме практикума, предоставив учащимся право после совместного обсуждения задач из учебника самостоятельно решать все задачи из учебника. Учитель может выделить некоторый минимум обязательных заданий (для конкретного класса), решение которых будет проверено (выборочно или всех подряд). Проверять можно в форме устного собеседования или проверки тетрадей. И в том и в другом случае к проверке полезно привлекать учащихся, интересующихся математикой.
Для учащихся профильных классов важными с точки зрения обобщения уже известных понятий являются задачи 3, 4, 6, 9, 10, 12 (из § 2). Их решение позволяет повторить очень важные темы курса: и преобразования алгебраических выражений, и логарифмы, и иррациональность, и модуль числа, и вычисление площадей. Упражнения 19—22 решаются аналогично задачам 13—15, разобранным в учебнике. Учащиеся, интересующиеся математикой, могут познакомиться с ними самостоятельно, если учитель не сочтет возможным изучить их на уроке.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны уметь находить множество точек координатной плоскости, заданных простейшими нелинейными уравнениями с двумя переменными при решении упражнений не сложнее, чем упражнения 9 (1, 2). Учащиеся профильных классов, кроме того, должны уметь решать нелинейные уравнения, неравенства, системы нелинейных уравнений и неравенств с двумя переменными при решении упражнений типа 12 (1), 14 (2), 16 (1). |
