Область определения и множество значений тригонометрических функций
27.10.2014, 10:03
Цель изучения параграфа — введение понятия тригонометрической функции, формирование умений находить область определения и множество значений тригонометрических функций. Изучение параграфа рекомендуется начать с повторения материала VIII и IX глав учебника для 10 класса. Для организации повторения на данном и последующих уроках можно использовать отдельные плакаты (или презентацию, кадры которой могут соответствовать этим плакатам). Ниже приведем тексты плакатов и рисунки к каждому из них.
ПЛАКАТ 1. Поворот точки вокруг начала координат (рис. 1) Точка М получена из точки Р (1; 0) поворотом вокруг начала координат на угол x радиан, где х > 0. Точка М1 получена из точки Р (1; 0) поворотом вокруг начала координат на угол х радиан, где х < 0. Если х = х0 + 2πn, n ∈ Z, то при повороте на угол x получается та же самая точка, что и при повороте на угол х0.
ПЛАКАТ 2. Определение синуса, косинуса и тангенса числа (рис. 2) sin x — ордината точки A, sin x1 — ордината точки А1, sin x2 — ордината точки А2. cos x — абсцисса точки A, cos x1 — абсцисса точки А1, cos x2 — абсцисса точки А2. sin x cos x =tg x, sin x 1 cos x 1 =tg x 1 , sin x 2 cos x 2 =tg x 2 .
ПЛАКАТ 3. Знаки значений синуса, косинуса, тангенса (рис. 3) sin x > 0 в I и II четвертях; sin x < 0 в III и IV четвертях. cos x > 0 в I и IV четвертях; cos x < 0 во II и III четвертях. tg x > 0 в I и III четвертях; tg x < 0 во II и IV четвертях.
ПЛАКАТ 4. Синус, косинус и тангенс углов х и − x (рис. 4) sin (−x) = −sin x; cos (−x) = cos x; tg (−x) = −tg x.
ПЛАКАТ 5. Решение простейших тригонометрических уравнений (частные случаи) (рис. 5) sin x = 1, x= π 2 +2πn, , n ∈ Z; cos x = 1, х = 2πn, n ∈ Z; sin x = −1, x=− π 2 +2πn, , n ∈ Z; cos x = −1, x = π + 2πn, n ∈ Z; sin x = 0, x = πn, n ∈ Z; cos x = 0, x= π 2 +πn, , n ∈ Z.
ПЛАКАТ 6. Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла sin2 x + cos2 x = 1, sin x=± 1− cos 2 x , cos x=± 1− sin 2 x , tg x= 1 ctg x , 1+ tg 2 x= 1 cos 2 x , 1+ctg 2 x= 1 sin 2 x .
ПЛАКАТ 7. Решение тригонометрических уравнений sin x = a, x = (−1)n arcsin а + πn, n ∈ Z (рис. 6). cos x = а, х = ±arccos а + 2πn, n ∈ Z (рис. 7). tg x = а, х = arctg a + πn, n ∈ Z (рис. 8).
ПЛАКАТ 8. Ограниченная функция Функция у = f (x) является ограниченной на множестве X тогда и только тогда, когда существует число С > 0, такое, что для любого x ∈ X выполняется неравенство | f (x) | ≤ С. Это означает, что все точки графика функции у = f (x), х ∈ Х, лежат в горизонтальной полосе, ограниченной прямыми y = С, у = −С (рис. 9).
Рассматривая рисунки и вспоминая теоретический материал, им соответствующий, учащиеся подготовятся не только к восприятию нового теоретического материала, но и к решению задач, изложенных как в этом, так и в последующих параграфах. Подобная работа с плакатами будет полезна при изучении всей главы и при повторении. Для актуализации знаний учащихся и общеобразовательных, и профильных классов на этих уроках могут быть использованы приведенные ниже упражнения. 1. Выяснить, в какой четверти расположена точка, полученная поворотом точки Р (1; 0) вокруг начала координат на угол, равный х радиан, если: 1) x = 1,09; 2) x = −2,9; 3) x = 4,1; 4) x = −6. 2. Выяснить, в какой четверти расположена точка, полученная поворотом точки Р (1; 0) вокруг начала координат на угол, равный 190π. 3. Определить знак числа: 1) sin 1,09; 2) cos (−2,9); 3) sin 4,1; 4) tg (−6). 4. Расположена ли на единичной окружности точка с координатами: 1) (cos 1; sin 1); 2) (cos (−20); sin (−20)); 3) (0,4; 0,5)? 5. Может ли синус принимать значение: 1) равное 0; 2) меньшее −1; 3) большее 1? Может ли такие значения принимать косинус? тангенс? 6. Назвать три числа, косинус которых равен: 1) 0,5; 2) 0,3; 3) а, если | а | < 1. 7. Решить уравнение: 1) sin x = 0,2; 2) cos x = −1; 3) tg x = 5; 4) cos x = 1,001; 5) sin x = 1. 8. При каких значениях а имеет решение уравнение: 1) 2 sin x = а; 2) cos 3x = а? 9. Имеет ли смысл выражение tg 2x, если x= π 4 + πn 4 , n ∈ Z? 10. Является ли ограниченной сверху или снизу функция: 1) у = −2х2 + 3х − 2; 2) у = х2 − 7х + 5? 11. Привести пример графика функции, ограниченной на отрезке [−3; 3]. Ввести понятие тригонометрической функции необходимо, опираясь на известные учащимся сведения о соответствии каждому действительному числу x единственной точки единичной окружности. Опираясь на вышеуказанные плакаты, учащиеся профильных классов самостоятельно, а общеобразовательных с помощью учебника могут решить проблему нахождения области определения, множества значений и выяснения ограниченности функций y = sin х, у = cos х, у = tg x. В профильных классах желательно провести рассуждения, показывающие неограниченность функций у = tg x, у = ctg x. Для этого учащиеся должны составить отрицание того высказывания, которое приведено на плакате 8 и является определением ограниченной функции. Пусть условие, что существует число С > 0, такое, что для любого x ∈ X верно неравенство | f (x) | ≤ С не выполняется, т. е. не существует такое число С > 0, чтобы неравенство | f (x) | ≤ С было верным для всех х ∈ Х. Иными словами, для любого С > 0 указанное неравенство не может выполняться для всех x ∈ X. Это означает, что оно не выполняется хотя бы для одного значения хс ∈ X, т. е. выполняется противоположное неравенство | f (xс) | > С. Затем воспользоваться рисунком 8 плаката 7 и показать, что для любого числа С > 0, которое можно отметить на оси тангенсов, можно указать угол x, такой, что | tg x | > С. Иными словами, если С > 0 — произвольное число, то найдется, например, число x = arctg (C + 1), такое, что | tg (arctg (C + 1)) | = С + 1 > С. Задачи 1—3 из учебника предназначены для изучения всеми учащимися; задачи 4—6 с учащимися общеобразовательных классов можно не решать. B учебнике приведено два способа рассуждений при решении задачи 2: оба они равноправны, и ученик вправе сам решить, каким из них пользоваться в дальнейшем. Перед решением задач 4 и 5 полезно вспомнить решение уравнений методом введения вспомогательного угла. С этой целью дома или в классе можно решить, например, уравнения: 1) 4 sin 3x + 3 cos 3x − 5 = 0; 2) 2 cos 2x + 5 cos2 x = 8 sin 2x − 6. В задачах 6 и 7 приводятся примеры доказательства того, что функция является ограниченной, а в задаче 8 — что функция не ограничена. При отсутствии времени на уроках по изучению параграфа в профильных классах последние задачи 7 и 8 (а также упражнения 10 и 11) целесообразно рассмотреть позже, на уроке систематизации и обобщения знаний в конце изучения главы I. Это послужит подготовкой к изучению следующей главы. При выполнении упражнений к параграфу учащиеся повторяют методы решения уравнений и неравенств. Например, в упражнении 5 приходится решать тригонометрические неравенства, причем задания 4) и 5) выполнить с помощью единичной окружности.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны знать, какое множество является областью определения, какое — множеством значений каждой из функций y = sin x, у = cos x, у = tg x, и уметь решать упражнения типа 1 и 2. Учащиеся профильных классов, кроме того, должны уметь обосновывать ограниченность функций y = sin x, у = cos x и выполнять упражнения типа 5 и 7.
Решение упражнений
9. 1) Преобразуем выражение sin4 x + cos4 x = (sin2 x + cos2 x)2 − 2 sin2 x cos2 x = 1 − 1 2 sin2 2x. Так как 0 ≤ sin2 2x ≤ 1, то −1 ≤ − sin2 2x ≤ 0, 1 2 ≤ 1 − 1 2 sin2 2x ≤ 1, т. е. множество значений функции [ 1 2 ; 1 ] . 2) Преобразуем выражение, используя формулу суммы кубов и преобразование предыдущей задачи:
sin6 x + cos6 x = (sin2 x + cos2 x) (sin4 x − sin2 x cos2 x + cos4 x) = = 1 − 1 2 sin2 2x − sin2 x cos2 x = =1− 1 2 sin 2 2x− 1 4 sin 2 2x=1− 3 4 sin 2 2x .
Рассуждения, аналогичные тем, что приведены в предыдущей задаче, дают результат. Множество значений функции [ 1 4 ; 1 ] . 10. 1) Если | sin x | ≤ 1, то | 1,5 − sin x | ≥ 1,5 − | sin x | ≥ 0,5, откуда
| y |≤ | cos x | 1,5−| sin x | , | y |≤ | cos x | 0,5 ≤2. 2) | sin x + cos x | = 2 −| sin x 2 + cos x 2 |= 2 | sin ( x+ π 4 ) |≤ 2 ; | 3 −(sin x+cos x) |≥ 3 −| sin x+cos x |≥ 3 − 2 . Следовательно, | y |≤ 1 3 − 2 . 11. 1) Для любого С > 0 возьмем x n = 1 2πn , где n ∈ N, такое, что cos 1 2π ⋅2πn>C . Тогда f( x n )=( cos 1 2πn )2πn≥( cos 1 2π )2πn>C, так как cos 1 2πn ≥cos 1 2π при всех n ∈ N. 2) Для любого С > 0 возьмем n ∈ N таким, чтобы π 2 +2πn>C, и возьмем x n = 1 π 2 +2πn . Тогда f( x n )= 1 x n sin 1 x n = 1 x n = π 2 +2πn>C . Это означает, что функция f(x)= 1 x sin 1 x не ограничена на множестве R, кроме точки х = 0.
