Цель изучения параграфа — овладение одним из основных средств подсчета числа различных соединений (комбинаторным правилом произведения), знакомство учащихся профильных классов с размещениями с повторениями. С этого параграфа начинается изучение главы «Комбинаторика» в общеобразовательных классах. Первый урок учитель может начать с актуализации комбинаторных знаний учащихся, полученных ими в основной школе (см. Ткачева М. В., Федорова Н. Е. Элементы статистики и вероятность. — M.: Просвещение, 2005). Если учащиеся в основной школе не изучали вопросы комбинаторики, вероятностей и статистики, учителю следует прочитать им лекцию о значении стохастических знаний как в повседневной жизни человека, так и в его профессиональной деятельности. Материал для лекции можно выбрать из названного выше пособия, из введения к данной главе, а также из ряда статей, посвященных вопросам стохастики и публиковавшихся в журналах «Математика в школе» в 2003 г. До введения определения понятия размещений с повторениями материал параграфа не сложен для понимания всеми учащимися. Однако в классах, где присутствует много учащихся с гуманитарными способностями, решение хотя бы одной задачи на применение правила произведения желательно проиллюстрировать с помощью схемы-дерева. Например, наглядное представление перебора всех способов записи трехзначных чисел (не имеющих одинаковых цифр) и записанных с помощью цифр 1, 2 и 3 (упражнение 5(1)) будет выглядеть так:
После рассмотрения задачи 1 текста параграфа можно предложить учащимся устно выполнить упражнение 7, затем рассмотреть упражнение 8 (предложив упражнение 9 для домашней работы). В каждой из этих задач правило произведения применяется по одному разу. После рассмотрения задачи 2 текста учебника выполняются упражнения 5, 6, 10—12. Упражнения 13 и 14 желательно рассмотреть последовательно на одном уроке. Подсчет искомого числа соединений в упражнении 13 (это число равно 10 · 9 = 90 — каждый из 10 участников раздал 9 карточек) можно произвести устно. Затем при рассмотрении упражнения 14 разъяснить, почему число рукопожатий в 2 раза меньше числа визиток из упражнения 13. Для слабых учащихся процессы раздачи визитных карточек и рукопожатий, например, среди 4 человек могут быть проиллюстрированы с помощью схем (графов) на рисунках 39 (визитные карточки) и 40 (рукопожатия).
В профильных классах тема изучается в последовательности, предложенной учебником. При этом с учащимися, изучавшими § 1, обязательным к рассмотрению считается доказательство формулы (1) методом математической индукции. Распределение учебного материала по урокам отражено в таблицах
В результате изучения параграфа все учащиеся должны уметь применять правило произведения при решении упражнений типа 5, 6, 9, а учащиеся профильных классов — при выполнении упражнений типа 15.
Решение упражнений
16. На первом месте может стоять любая из девяти цифр от 1 до 9; на третьем месте может стоять любая из 8 неиспользованных (на первом месте) цифр или цифра 0, т. е. любая из 9 цифр; на пятом месте может стоять любая из 8 оставшихся цифр; а на седьмом месте — любая из 7 еще не использованных цифр. Согласно правилу произведения существует 9 · 9 · 8 · 7 = 4536 способов расположить на нечетных местах семизначного числа различные цифры. Для второго, четвертого и шестого мест существует 10 · 10 · 10 = 1000 способов расположения цифр. Всего различных семизначных чисел, удовлетворяющих условию задачи, существует 4536 · 1000 = 4536000. 17. Нечетное число определяется последней цифрой числа; в данной задаче это одна из четырех цифр (1, 3, 5 или 7). После выбора последней (четвертой) цифры числа первую цифру можно выбрать 6 способами (на первом месте может быть любая из 8 заданных цифр, кроме 0 и той, которая выбрана на последнее место), вторую после этого — шестью, третью — пятью способами. Согласно правилу произведения существует 4 · 6 · 6 · 5 = 720 чисел с требуемыми свойствами.
