Цель изучения параграфа — знакомство всех учащихся с понятием второй производной функции и ее физическим смыслом; учащиеся профильных классов осваивают аппарат применения второй производной для нахождения интервалов выпуклости и точек перегиба функции.
С учащимися общеобразовательных классов изучается лишь п. 1 параграфа. После этого выполняется упражнение 37 и решаются следующие задачи:
1. Материальная точка движется прямолинейно по закону s(t)=8 t 2 − 2 3 t 3 , где s (t) — путь в метрах, t — время в секундах. Найти ускорение движения в момент времени t = 1; t = 3; t = 4.
2. Скорость материальной точки, движущейся прямолинейно, изменяется по закону v(t)= t 3 3 −16t, где скорость измеряется в метрах в секунду. В какой момент времени скорость движения будет наименьшей, если движение рассматривается за промежуток времени от t1 = 2 с до t2 = 10 с?
3. Материальная точка движется прямолинейно по закону s(t)= 1 12 t 4 − t 3 . В какой момент времени из промежутка [1; 5] ускорение движения будет минимальным?
При этом для домашней работы учащимся можно дать последнюю из предложенных трех задач (или ей аналогичную) из упражнения 37 (2, 4, 6).
В профильных классах на первом уроке следует повторить решение неравенств методом интервалов. После рассмотрения п. 1 параграфа желательно решить предложенные выше 3 задачи, иллюстрирующие физический смысл второй производной. Остальное время посвящается изучению геометрического смысла второй производной, нахождению интервалов выпуклости и точек перегиба. Перед решением упражнения 40 (1) учащиеся профильных классов могут вывести правило нахождения второй производной произведения двух функций: «Если f (x) = g (x) · h (x), то f ″ (x) = g″ (x) · h (x) + 2g′ (x) · h′ (x) + g (x) · h″ (x)».
Найти интервалы выпуклости функции: 1) y = х4 − 6x2 + 4;
2) y = (x + 1)4.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны уметь находить вторые производные функций в упражнениях типа 37; учащиеся профильных классов должны уметь находить интервалы выпуклости и точки перегиба функции в упражнениях типа 38, 39.
Решение упражнений
39. 1) f (x) = cos x, −π < x < π; f ″ (x) = −cos x, f ″ (x) = 0 при x 1 =− π 2 и x 2 = π 2 . В этих точках f ″ (x) меняет знак, и поэтому точки − π 2 и π 2 — точки перегиба.
40. 1) f (x) = (x2 − 3x + 2) ex,
f ′ (x) = (2x − 3) ex + (x2 − 3x + 2) ex = ex (x2 − x − 1),
f ″ = ex (x2 − x − 1) + ex (2x − 1) = ex (x2 + x − 2). Так как ех > 0 при любом x, то f ″ (x) = 0 при x1 = −2, х2 = 1. Так как f ″ (x) > 0 при х < −2 и х > 1, то на этих интервалах функция выпукла вниз; на интервале (−2; 1) функция выпукла вверх, так как здесь f ″ (x) < 0. | 