Суббота, 23.01.2021, 21:09
Ш  К  О  Л  А     П  И  Ф  А  Г  О  Р  А
      Предмет математики настолько серьезен, что нужно
не упускать случая, сделать его немного занимательным".
                                                                           Блез Паскаль
Главная | Регистрация | Вход Приветствую Вас Гость | RSS
ПАМЯТКИ ПО МАТЕМАТИКЕ   ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ   ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ   МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
УРОКИ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛЕ


МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КЛАДОВАЯ


В МИРЕ ЗАДАЧ
ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
МАТЕМАТИКА В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ
ВАРИ, КОТЕЛОК!
УДИВИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
В МИРЕ ИНТЕРЕСНОГО
Категории раздела
10 КЛАСС [78]
11 КЛАСС [65]
Статистика

Онлайн всего: 5
Гостей: 5
Пользователей: 0
Форма входа

Главная » Файлы » ПРЕПОДАЕМ АЛГЕБРУ И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА » 11 КЛАСС

Сочетания без повторений и бином Ньютона
26.10.2014, 22:12
      Цель изучения параграфа — знакомство с сочетаниями и их свойствами; решение комбинаторных задач, сводящихся к подсчету числа сочетаний из т по п элементов; обоснованное конструирование треугольника Паскаля; обучение возведению двучленов в натуральные степени с использованием формулы Ньютона.
      В 10 классе в главе «Многочлены» без вывода приводилась формула (2), где через C m n обозначались (без пояснений) биномиальные коэффициенты. При знакомстве с данным параграфом учащиеся получают возможность соотнести ранее изученные алгебраические понятия с элементами теории соединений. Учащиеся профильных классов, интересующиеся математикой, в конце параграфа смогут познакомиться со строгим доказательством формулы (5) бинома Ньютона (оно опирается на знание теории соединений с повторениями).
      Первый урок можно начать с устной работы, направленной на повторение определений ранее изученных соединений и формул для нахождения Pn и  A m n .
      При конструировании треугольника Паскаля учитель может показать и «другую форму» треугольника — не прямоугольную, а равнобедренную:

1    1
1     2    1
1     3     3    1
1    4     6     4    1
1   5    10   10    5    1
.      .      .      .      .      .

      Многим учащимся такая форма кажется более удобной (элементы следующей строки получаются так: первый и последний элементы равны 1, а каждый промежуточный равен сумме двух ближайших к нему членов из предыдущей строки). Однако треугольник Паскаля, изображенный на с. 171 учебника, более наглядно иллюстрирует применение свойства (4) при конструировании треугольника.
      На третьем уроке желательно провести самостоятельную работу с проверкой в классе, составленную из упражнений учебника.
      Распределение материала параграфа по урокам может быть следующим.

      В результате изучения параграфа все учащиеся должны знать определение сочетаний из m по n, свойства числа сочетаний; уметь раскладывать степень бинома по формуле Ньютона при нахождении биномиальных коэффициентов с помощью треугольника Паскаля; выполнять упражнения типа 41, 42, 48. Учащиеся профильных классов должны уметь выполнять упражнения типа 49, 53.

Решение упражнений

      49.  Двух девочек из шести можно выбрать C 6 2 = 6! 2!4! =15 способами. К каждой паре девочек одного мальчика можно присоединить 4 способами. Согласно правилу произведения двух девочек и мальчика можно выбрать 15 · 4 = 60 способами.
      50.  1)   C m 3 = m! 3!(m−3)! ,  C m+2 4 = (m+2)! 4!(m−2)! . Исходное уравнение равносильно системе
{ m∈N, m≥3, m+2≥4, m! 3!(m−3)! = 4 15 ⋅ (m+2)! 4!(m−2)! ;  { m∈N, m≥3, 1= (m+1)(m+2) 15(m−2) .
      Ответ. m1 = 8, m2 = 4.
      53.  1)   C x 2 + C x 3 + C x+1 3 = (x+1)! 3!(x−2)! = (x−1)x(x+1) 6 при x ≥ 3, x  ∈  N. Таким образом, исходное уравнение равносильно системе
{ x≥3, x∈N, x(x+1) 6 =15.
      Ответ. х = 9.
      55.  Два яблока из пяти можно выбрать C 5 2  способами, два апельсина из шести — C 6 2  способами. Указанный набор можно выбрать C 5 2 ⋅ C 6 2 = 5! 2!3! ⋅ 6! 2!4! =2⋅5⋅5⋅3=150 способами.
      57.  Пусть искомый член разложения имеет вид C 10 k ( x ) 10−x ⋅ ( 1 x ) k . Согласно условию задачи должно выполняться равенство ( x 1 2 ) 10−k ⋅ ( x − 1 2 ) k = x 2 , откуда 1 2 (10−k)− 1 2 k=2 или 10 − k − k = 4, k = 3. Искомый член разложения равен C 10 3 x 2 =120 x 2 .
      59.  I способ. Каждую из k прямых пересекает (k − 1) прямая. В произведении k (k − 1) каждая из точек пересечения подсчитана дважды, т. е. всего k(k−1) 2 точек.
      II способ. C k 2 = k! 2!(k−2)! = (k−1)k 2 .
      60.  12 белых шашек могут занять 32 клетки доски C 32 12 способами, после этого оставшиеся 20 клеток 12 черных шашек могут занять C 20 12 способами. Ответ. C 32 12 ⋅ C 20 12 .

§ 6.  Сочетания с повторениями

      Цель изучения параграфа учащимися профильных классов, интересующимися математикой, — завершение формирования представлений о соединениях с повторениями.
      Применение нестандартного приема вывода формулы числа сочетаний с повторениями расширит арсенал методов решения комбинаторных задач, поспособствует развитию конструкторских способностей учащихся.
      Текст параграфа может быть разобран учащимися, интересующимися математикой, самостоятельно.

Решение упражнений

      63.  Нужно найти количество всевозможных соединений, состоящих из трех элементов, выбираемых из элементов четырех видов (и отличающихся друг от друга хотя бы одним элементом); их число равно
C ¯ 4 3 = (4+3−1)! (4−1)!3! = 6! 3!3! = 4⋅5⋅6 2⋅3 =20.
      64.  Число способов равно
C ¯ 4 7 = (4+7−1)! (4−1)!7! = 10! 3!7! = 8⋅9⋅10 2⋅3 =120.
      65.  Число различных прямоугольных параллелепипедов равно
C ¯ 8 3 = (8+3−1)! (8−1)!3! = 10! 7!3! =120.
Категория: 11 КЛАСС | Добавил: admin | Теги: Методика преподавания математики в, Уроки математики, советы по преподаванию алгебры в 11, поурочное планирование алгебры в 11
Просмотров: 1016 | Загрузок: 0 | Рейтинг: 0.0/0
УЧИТЕЛЮ ИНФОРМАТИКИ
КОНСПЕКТЫ УРОКОВ
ВНЕКЛАССНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ПОСОБИЯ И МЕТОДИЧКИ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ЗАДАНИЯ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ


ИНФОРМАТИКА В ШКОЛЕ


ИНФОРМАТИКА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ
ИНФОРМАТИКА В 3 КЛАССЕ
ИНФОРМАТИКА В 4 КЛАССЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 3 КЛАСС
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 4 КЛАСС
ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДЛЯ ДЕТЕЙ
СКАЗКА "ПРИКЛЮЧЕНИЯ ЭЛЕКТРОШИ"
ИГРОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ НА УРОКАХ ИНФОРМАТИКИ
ИГРОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ВИКТОРИНЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ
КОМПЬЮТЕРНЫЕ ЧАСТУШКИ
ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ
Поиск


Друзья сайта
  • Создать сайт
  • Все для веб-мастера
  • Программы для всех
  • Мир развлечений
  • Лучшие сайты Рунета
  • Кулинарные рецепты

  • Copyright MyCorp © 2021
    Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru