Цель изучения параграфа — знакомство с сочетаниями и их свойствами; решение комбинаторных задач, сводящихся к подсчету числа сочетаний из т по п элементов; обоснованное конструирование треугольника Паскаля; обучение возведению двучленов в натуральные степени с использованием формулы Ньютона. В 10 классе в главе «Многочлены» без вывода приводилась формула (2), где через C m n обозначались (без пояснений) биномиальные коэффициенты. При знакомстве с данным параграфом учащиеся получают возможность соотнести ранее изученные алгебраические понятия с элементами теории соединений. Учащиеся профильных классов, интересующиеся математикой, в конце параграфа смогут познакомиться со строгим доказательством формулы (5) бинома Ньютона (оно опирается на знание теории соединений с повторениями). Первый урок можно начать с устной работы, направленной на повторение определений ранее изученных соединений и формул для нахождения Pn и A m n . При конструировании треугольника Паскаля учитель может показать и «другую форму» треугольника — не прямоугольную, а равнобедренную:
Многим учащимся такая форма кажется более удобной (элементы следующей строки получаются так: первый и последний элементы равны 1, а каждый промежуточный равен сумме двух ближайших к нему членов из предыдущей строки). Однако треугольник Паскаля, изображенный на с. 171 учебника, более наглядно иллюстрирует применение свойства (4) при конструировании треугольника. На третьем уроке желательно провести самостоятельную работу с проверкой в классе, составленную из упражнений учебника. Распределение материала параграфа по урокам может быть следующим.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны знать определение сочетаний из m по n, свойства числа сочетаний; уметь раскладывать степень бинома по формуле Ньютона при нахождении биномиальных коэффициентов с помощью треугольника Паскаля; выполнять упражнения типа 41, 42, 48. Учащиеся профильных классов должны уметь выполнять упражнения типа 49, 53.
Решение упражнений
49. Двух девочек из шести можно выбрать C 6 2 = 6! 2!4! =15 способами. К каждой паре девочек одного мальчика можно присоединить 4 способами. Согласно правилу произведения двух девочек и мальчика можно выбрать 15 · 4 = 60 способами. 50. 1) C m 3 = m! 3!(m−3)! , C m+2 4 = (m+2)! 4!(m−2)! . Исходное уравнение равносильно системе { m∈N, m≥3, m+2≥4, m! 3!(m−3)! = 4 15 ⋅ (m+2)! 4!(m−2)! ; { m∈N, m≥3, 1= (m+1)(m+2) 15(m−2) . Ответ. m1 = 8, m2 = 4. 53. 1) C x 2 + C x 3 + C x+1 3 = (x+1)! 3!(x−2)! = (x−1)x(x+1) 6 при x ≥ 3, x ∈ N. Таким образом, исходное уравнение равносильно системе { x≥3, x∈N, x(x+1) 6 =15. Ответ. х = 9. 55. Два яблока из пяти можно выбрать C 5 2 способами, два апельсина из шести — C 6 2 способами. Указанный набор можно выбрать C 5 2 ⋅ C 6 2 = 5! 2!3! ⋅ 6! 2!4! =2⋅5⋅5⋅3=150 способами. 57. Пусть искомый член разложения имеет вид C 10 k ( x ) 10−x ⋅ ( 1 x ) k . Согласно условию задачи должно выполняться равенство ( x 1 2 ) 10−k ⋅ ( x − 1 2 ) k = x 2 , откуда 1 2 (10−k)− 1 2 k=2 или 10 − k − k = 4, k = 3. Искомый член разложения равен C 10 3 x 2 =120 x 2 . 59. I способ. Каждую из k прямых пересекает (k − 1) прямая. В произведении k (k − 1) каждая из точек пересечения подсчитана дважды, т. е. всего k(k−1) 2 точек. II способ. C k 2 = k! 2!(k−2)! = (k−1)k 2 . 60. 12 белых шашек могут занять 32 клетки доски C 32 12 способами, после этого оставшиеся 20 клеток 12 черных шашек могут занять C 20 12 способами. Ответ. C 32 12 ⋅ C 20 12 .
§ 6. Сочетания с повторениями
Цель изучения параграфа учащимися профильных классов, интересующимися математикой, — завершение формирования представлений о соединениях с повторениями. Применение нестандартного приема вывода формулы числа сочетаний с повторениями расширит арсенал методов решения комбинаторных задач, поспособствует развитию конструкторских способностей учащихся. Текст параграфа может быть разобран учащимися, интересующимися математикой, самостоятельно.
Решение упражнений
63. Нужно найти количество всевозможных соединений, состоящих из трех элементов, выбираемых из элементов четырех видов (и отличающихся друг от друга хотя бы одним элементом); их число равно C ¯ 4 3 = (4+3−1)! (4−1)!3! = 6! 3!3! = 4⋅5⋅6 2⋅3 =20. 64. Число способов равно C ¯ 4 7 = (4+7−1)! (4−1)!7! = 10! 3!7! = 8⋅9⋅10 2⋅3 =120. 65. Число различных прямоугольных параллелепипедов равно C ¯ 8 3 = (8+3−1)! (8−1)!3! = 10! 7!3! =120.