Цель изучения параграфа — ознакомление со свойствами функций у = tg x, у = ctg x, обучение построению графиков функций и применению свойств функций при решении уравнений и неравенств. Для учащихся общеобразовательных классов § 5 является завершающим в данной теме. Повторение свойств тангенса и котангенса числа можно провести по плакатам (§ 1). Возрастание функции y = tg x в первой четверти можно не доказывать, а проследить по рисунку (рис. 12). При построении графика полезно использовать шаблон, который поможет и при построении графика функции у = ctg x. Свойства функции, как и ранее, «читаем» по графику. Закрепление умений применять свойства функций происходит при выполнении упражнений.
Как и в предыдущих параграфах, система упражнений позволяет учащимся общеобразовательных классов: 1) повторить нахождение значений функции по данным значениям аргумента; 2) научиться применять график и свойства функции для сравнения значений функции при разных значениях аргумента; 3) научиться находить решения простейших уравнений и неравенств на конкретном промежутке; 4) строить графики функций. Учащимся профильных классов можно предложить самостоятельно продумать план построения графика функции у = tg x, а потом и у = ctg x. Сведения о тангенсе, которые возможно забыты, можно почерпнуть из плакатов (§ 1). Доказательство возрастания функции у = tg x на промежутке [ 0; π 2 ) основывается на свойствах функций синус и косинус, и учащиеся могут его провести с помощью учителя или самостоятельно, работая с учебником. Учащимся профильных классов полезно подробно разобрать решение задачи 4. Сжатие графика всегда вызывает трудности, поэтому можно сначала посмотреть на компьютере или на готовом чертеже построение графика функции ( например, функции y=sin 2 ( x+ π 6 ) ) .
В результате изучения параграфа все учащиеся должны уметь строить графики функций у = tg x, у = ctg x, по графику выявлять свойства функций и выполнять упражнения типа 79—81. Учащиеся профильных классов, кроме того, должны уметь исследовать функции, выполнять построение графиков, применять свойства функции в упражнениях типа 83—84, 89.
Решение упражнений
94. 3) Неравенство 3 sin2 x + sin x cos x > 2 равносильно каждому из трех неравенств
3 sin2 x + sin x cos x − 2 sin2 x − 2 cos2 x > 0, sin2 x + sin x cos x − 2 cos2 x > 0, tg2 x + tg x − 2 > 0 ( cos 2 x>0, x≠ π 2 +πn, n∈Z ) .
Решениями последнего неравенства являются промежутки tg x < −2, tg x > 1. Следовательно, можно записать ответ: π 4 +πn<x< π 2 +πn, − π 2 +πn<x<−arctg 2+πn, n ∈ Z (рис. 13).