Цель изучения параграфа — формирование понятия аргумента комплексного числа, обучение записи комплексного числа в тригонометрической форме.
Осознанное восприятие аргумента числа во многом зависит от умения представить число на комплексной плоскости. С этого и имеет смысл начать изучение темы. Можно использовать рисунок 111 учебника для того, чтобы вспомнить, как же найти модуль каждого комплексного числа. Затем поставить вопрос о нахождении угла между вектором, соответствующим числу z, и положительным направлением оси Ох. Каждое комплексное число вполне определяется этим углом и модулем числа, что приводит к введению понятия аргумента комплексного числа.
Связь действительной и мнимой частей комплексного числа с его модулем и аргументом целесообразнее устанавливать на конкретных примерах. В частности можно пользоваться рисунком 105 учебника. Для каждой точки выписать значения действительной и мнимой частей соответствующего числа, его аргумента и модуля. Только затем сделать вывод о том, что аргумент определяется неоднозначно, и записать комплексное число в тригонометрической форме.
Выполняя упражнение 45, учащиеся в первую очередь ставят вопрос о расположении числа на комплексной плоскости, что позволяет точно оценить аргумент.
Решая задачу 2 (1) и упражнение 46 (1—6), желательно придерживаться алгоритма: 1) выяснить расположение числа на комплексной плоскости; 2) вычислить тангенс и найти аргумент числа; 3) вычислить модуль; 4) записать число в тригонометрической форме.
В задаче 2 (2) и упражнениях 46 (7, 8), 48, 49, 52 учащимся, прежде чем выражать число в тригонометрической форме, необходимо проанализировать выражение, представляющее это число.
Например, при решении задачи 48 (1) выясняем, что модуль числа равен 1, аргументы синуса и косинуса на первый взгляд одинаковые, но перед мнимой частью числа стоит знак минус. Однако, пользуясь нечетностью функции синус, запишем −sin π 9 =sin ( − π 9 ) , а четность функции косинус позволяет преобразовать косинус: cos π 9 =cos ( − π 9 ) . Таким образом, число запишется в виде cos ( − π 9 )+i sin ( − π 9 ) .
В последнем абзаце параграфа приводятся примеры записи выражений, которые не представляют собой записи чисел в тригонометрической форме. Полезно предложить учащимся самостоятельно проанализировать причину, по которой нельзя считать данную запись тригонометрической формой комплексного числа. Затем аналогично провести анализ упражнения 49, объясняя причину, по которой выражения в заданиях 49 (2, 4, 5) нельзя считать тригонометрической формой записи числа z= 1 2 − 3 2 i . Ученик должен понять, что 5π 3 и − π 3 и есть тот самый аргумент: − π 3 = 5π 3 −2π , поэтому верный ответ 1 и 3.
Умение представить число, записанное в алгебраической форме, в форме тригонометрической и наоборот — главная задача этого урока. Решая упражнение 47, ученик должен вспомнить, что cos φ= a a 2 + b 2 , sin φ= b a 2 + b 2 . Следовательно, а и b находим, вычисляя соответственно косинус и синус числа.
47. 1) cos 5π 3 =cos ( 2π− π 3 )=cos π 3 = 1 2 , sin 5π 3 =sin ( 2π− π 3 )=− 3 2 , поэтому z= 1 2 − 3 2 i .
На уроке и дома целесообразно решить по несколько заданий из упражнений 45—49, дополнительно упражнения 51, 52. Остальные упражнения можно решать в течение последующих уроков. Усвоение последующих тем требует уверенного владения представлением комплексного числа и в алгебраической, и в тригонометрической формах.
В результате изучения параграфа учащиеся должны уметь выполнять упражнения типа 46, 47.
Решение упражнений
51. Так как | z | = 1, то | z |2 = 1. Следовательно, z⋅ z ¯ =1 , поэтому z ¯ = 1 z .
52. 2) Так как
cos 40° = −cos (180° + 40°), sin 40° = −sin (180° + 40°),
то
−5 (cos 40° + i sin 40°) =
= −5 (−cos (180° + 40°) + i (−sin (180° + 40°))) =
= 5 (cos 220° + i sin 220°).
3) Так как 1+cos α=2 cos 2 α 2 , sin α=2sin α 2 cos α 2 ,
то 1+cos α+isin α=2cos α 2 ( cos α 2 +isin α 2 ) .
|
