Воскресенье, 26.05.2019, 14:07
Ш  К  О  Л  А     П  И  Ф  А  Г  О  Р  А
      Предмет математики настолько серьезен, что нужно
не упускать случая, сделать его немного занимательным".
                                                                           Блез Паскаль
Главная | Регистрация | Вход Приветствую Вас Гость | RSS
ПАМЯТКИ ПО МАТЕМАТИКЕ   ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ   ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ   МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
УРОКИ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛЕ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КЛАДОВАЯ
В МИРЕ ЗАДАЧ
ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
МАТЕМАТИКА В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ
ВАРИ, КОТЕЛОК!
УДИВИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
В МИРЕ ИНТЕРЕСНОГО
Категории раздела
10 КЛАСС [78]
11 КЛАСС [65]
Статистика

Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0
Форма входа

Главная » Файлы » ПРЕПОДАЕМ АЛГЕБРУ И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА » 11 КЛАСС

Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме. Формула Муавра
26.10.2014, 15:25
      Цель изучения параграфа — научить учащихся выполнять арифметические действия над комплексными числами, записанными в тригонометрической форме; ознакомить с возведением в степень числа, записанного в тригонометрической форме.
      При изучении материала параграфа учащимся потребуются умения представлять комплексное число в тригонометрической форме и выполнять преобразования тригонометрических выражений. Поэтому целесообразно начать урок с повторения и выполнить задания предыдущего параграфа из тех, что не успели на предыдущем уроке, например, из упражнений 47, 48, 50.
      Введение умножения и деления чисел, записанных в тригонометрической форме, требует знания теоремы сложения для синуса и косинуса и умения выполнять деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме. Поэтому учащимся можно предложить самостоятельно вывести формулы (1) и (2).
      Выполняя упражнения 53, 54, учащиеся прежде всего должны убедиться в том, что числа, арифметические действия с которыми они выполняют, записаны в тригонометрической форме.
      Материал параграфа после задачи 2 не является обязательным для учащихся. Однако прямое применение формулы Муавра для возведения в степень числа, записанного в тригонометрической форме, не должно вызывать трудности. Желательно ознакомить всех учащихся с формулой и задачей 3. Если учитель сочтет возможным, можно предложить всем учащимся выполнить упражнения 55 и 56 (1, 2, 4). Эти упражнения полезны тем, что прежде чем их выполнять, необходимо провести анализ условия и наметить пути решения. Желательно, чтобы ученик видел, что первым действием в упражнении 56 (1) должно быть деление, а потом умножение на число i. В упражнении 56 (2) достаточно числитель и знаменатель умножить на число, сопряженное знаменателю. Упражнение 56 (4) можно решить разными путями: 1) второй множитель числителя представить в алгебраической форме и затем выполнить действия; 2) все числа записать в тригонометрической форме и затем выполнить действия. Упражнение 56 (3, 5) полезно проанализировать и обсудить пути решения, даже не выполняя всех вычислений.
      Упражнения 59 и 60 интересны тем, что при их решении активно повторяется тригонометрия, что полезно перед экзаменами. Учащиеся, интересующиеся математикой, могут решить упражнение 60 самостоятельно после знакомства с приемами решения задачи 6 текста параграфа.
      Уравнение, решение которого приведено в задаче 5, и упражнение 58 красиво решаются с помощью тригонометрической формы записи комплексного числа. К сожалению, не всегда аргумент находится так легко и красиво, поэтому на данном уроке не стоит усложнять упражнения. В § 6 учащиеся увидят общий прием решения квадратного уравнения z2 = а, где а — комплексное число.
      На втором уроке можно провести самостоятельную работу, цель которой — проверить умение выполнять арифметические действия над числами, записанными как в алгебраической, так и в тригонометрической форме.
      1.  Выполнить действия и результат записать в тригонометрической форме:
      1)   ( 2 2 − 2 2 i ) (1+i) [ (−1+i)( 2 2 + 2 2 i ) ]  ;
      2)   2 1 2 + 3 2 i  [ 3 2 − 1 2 i i ] .
      2.  Выполнить указанные действия и результат записать в алгебраической форме:
      1)  3 (cos 12° +  i sin 12°) · 2 (cos 18° +  i sin 18°)
[ 0,5( cos  3π 7 +isin  3π 7 )⋅3( cos  π 14 +isin  π 14 ) ] ;
      2)   0,5( cos  5π 3 +isin  5π 3 ) 4( cos  4π 3 +isin  4π 3 )  [ 0,7(cos 87°+isin 87°) 0,2(cos 42°+isin 42°) ] .

      3.  Решить уравнение z2 = 25i [z2 = −9i] с помощью тригонометрической формы комплексного числа.
      Распределение материала параграфа по урокам отражено в таблице.

Номер урока
    

      В результате изучения параграфа учащиеся должны уметь выполнять действия умножения и деления комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме при выполнении упражнений типа 53, 54.

Решение упражнений

      57.  2)  Модуль числа должен быть положительным, поэтому представим первый множитель в виде 3( −cos  π 6 +i( −sin  π 6 ) ) . Далее −cos  π 6 =cos ( π+ π 6 )=cos  7π 6 , а  −sin  π 6 =sin ( π+ π 6 )=sin  7π 6 .
      Преобразуем второй множитель, используя свойства четности и формулу Муавра:
( ( cos  π 12 −isin  π 12 ) ) 4 = ( cos ( − π 12 )+isin ( − π 12 ) ) 4 =
=cos ( − π 3 )+isin ( − π 3 ).
      Выполним умножение
3( cos  7π 6 +isin  7π 6 ) ( cos ( − π 3 )+isin ( − π 3 ) )=3( cos  5π 6 +isin  5π 6 ).
      3)  Преобразования выполним в следующем порядке: представим числитель и знаменатель в тригонометрической форме, выполним деление, затем возведем в степень по формуле Муавра.
3 i+1=2( cos  π 3 +isin  π 3 ) , i−1= 2 ( cos ( − π 4 )+isin ( − π 4 ) ).
      Частное равно 2 ( cos ( π 3 + π 4 )+isin ( π 3 + π 4 ) ) =
= 2 ( cos  7π 12 +isin  7π 12 ) . Применим формулу Муавра:
( 2 ( cos  7π 12 +isin  7π 12 ) ) 6 =8( cos  3π 2 +isin  3π 2 ).
      58.  3)  Представим число 2−2i 3 в тригонометрической форме: 2−2i 3 =4( cos  π 3 +isin  π 3 ) . Пусть z = r (cos φ + i sin φ). Данное уравнение примет вид r 2 (cos 2φ+isin 2φ)=4( cos  π 3 +isin  π 3 ) . Отсюда r = 2, 2φ= π 3 +2πk , k  ∈  Z, φ= π 6 +πk , k  ∈  Z. Все решения уравнения можно записать в виде z=2( cos ( π 6 +πk )+isin ( π 6 +πk ) ) , k  ∈  Z. Решение в алгебраической форме имеет вид z 1 = 3 +i , z 2 =− 3 −i .
      59.  4)  Преобразуем дробь, применяя свойства степени, (1+i) 2n (1+i) (1−i) 2n (1−i) −1 = ( 1+i 1−i ) 2n (1+i)(1−i) . Произведение (1 + i) (1 − i) равно 2. Выполним деление:
2 ( (1+i)(1+i) (1−i)(1+i) ) 2n =2 ( 1+2i+ i 2 1− i 2 ) 2n =2 i 2n .
Запишем полученное число в тригонометрической форме 2 i 2n =2 ( cos  π 2 +isin  π 2 ) 2n .
      Если п — четное, то z = 2 (cos 0 + i sin 0); если п — нечетное, то z = 2 (cos π + i sin π).
      Преобразования можно выполнить иначе: представить числитель и знаменатель в тригонометрической форме, применить свойства степени и затем формулу Муавра.
      61.   ( 1+i tg α 1−i tg α ) n = ( cos α+isin α cos α−isin α ) n = cos nα+isin nα cos nα−isin nα = 1+i tg nα 1−i tg nα .
      62.  Рассмотрим одновременно решение обоих заданий, для чего введем обозначения:

Sn = sin x + sin 3x + ... + sin (2n − 1) x,
Σn = cos x + cos 3x + ... + cos (2n − 1) x.

      Рассмотрим сумму Σn + iSn, группируя слагаемые парами. Получим

Тn = (cos x +  i sin x) + (cos 3x +  i sin 3x) + ...
... + (cos (2 n − 1) x +  i sin (2 n − 1) x).

      Здесь первая пара слагаемых, записанных в скобках, представляет собой тригонометрическую форму некоторого комплексного числа z, а остальные пары в соответствии с формулой Муавра соответственно z3, z5, ..., z2n − 1, причем суммы действительных частей равны Σn, а мнимых — Sn. Сумму Тn можно записать так: Тn = z + z3 + ... + z2n − 1 = z (1 + z2 + ... + z2n − 2). Выражение в скобках представляет собой сумму геометрической прогрессии, у которой b1 = 1, q = z2. Эта сумма равна z 1− z 2n 1− z 2 = z− z 2n+1 1− z 2 . Таким образом, T n = cos x+isin x−(cos (2n+1)x+isin (2n+1)x) 1−cos 2x−isin 2x . Умножая числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю, и выполняя преобразования с применением теоремы сложения, получим дробь

(cos x−cos (2n+1)x+i(sin x−sin (2n+1)x))(1−cos 2x+isin 2x) (1−cos 2x) 2 + sin  2 2x ,
после преобразования которой получим число a c + b c i , где
       a=cos x−cos x⋅cos 2x−cos (2n+1)x+cos 2x⋅cos (2n+1)x−
− sin x⋅sin 2x+sin 2x⋅sin (2n+1)x ,
       b=sin 2x⋅cos x−sin 2x⋅cos (2n+1)x+sin x−sin x⋅cos 2x−
− sin (2n+1) x+cos 2x⋅sin (2n+1) ,
       c=2(1−cos 2x) .
Здесь дробь a c представляет собой действительную часть, а дробь b c  — мнимую часть комплексного числа Тn. В числителе первой дроби сумма первого, второго и пятого слагаемых равна 0, а сумма четвертого и шестого равна cos (2n − 1) х. Таким образом,

Σ n = 2cos (2n−1)x−cos (2n+1)x 4 sin  2 x = 2sin 2nx⋅sin x 4 sin  2 x = sin 2nx 2sin x .
В числителе второй дроби сумма первого и четвертого слагаемых равна sin x, а сумма второго и шестого равна sin (2n − 1) х.
Категория: 11 КЛАСС | Добавил: admin | Теги: Методика преподавания математики в, Уроки математики, советы по преподаванию алгебры в 11, поурочное планирование алгебры в 11
Просмотров: 804 | Загрузок: 0 | Рейтинг: 0.0/0
УЧИТЕЛЮ ИНФОРМАТИКИ
КОНСПЕКТЫ УРОКОВ
ВНЕКЛАССНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ПОСОБИЯ И МЕТОДИЧКИ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ЗАДАНИЯ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ

ИНФОРМАТИКА В ШКОЛЕ
ИНФОРМАТИКА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ
ИНФОРМАТИКА В 3 КЛАССЕ
ИНФОРМАТИКА В 4 КЛАССЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 3 КЛАСС
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 4 КЛАСС
ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДЛЯ ДЕТЕЙ
СКАЗКА "ПРИКЛЮЧЕНИЯ ЭЛЕКТРОШИ"
ИГРОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ НА УРОКАХ ИНФОРМАТИКИ
ВИКТОРИНЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ
КОМПЬЮТЕРНЫЕ ЧАСТУШКИ
ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ
Поиск


Друзья сайта
  • Создать сайт
  • Все для веб-мастера
  • Программы для всех
  • Мир развлечений
  • Лучшие сайты Рунета
  • Кулинарные рецепты

  • Copyright MyCorp © 2019
    Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru