Цель изучения параграфа — научить учащихся выполнять арифметические действия над комплексными числами, записанными в тригонометрической форме; ознакомить с возведением в степень числа, записанного в тригонометрической форме.
При изучении материала параграфа учащимся потребуются умения представлять комплексное число в тригонометрической форме и выполнять преобразования тригонометрических выражений. Поэтому целесообразно начать урок с повторения и выполнить задания предыдущего параграфа из тех, что не успели на предыдущем уроке, например, из упражнений 47, 48, 50.
Введение умножения и деления чисел, записанных в тригонометрической форме, требует знания теоремы сложения для синуса и косинуса и умения выполнять деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме. Поэтому учащимся можно предложить самостоятельно вывести формулы (1) и (2).
Выполняя упражнения 53, 54, учащиеся прежде всего должны убедиться в том, что числа, арифметические действия с которыми они выполняют, записаны в тригонометрической форме.
Материал параграфа после задачи 2 не является обязательным для учащихся. Однако прямое применение формулы Муавра для возведения в степень числа, записанного в тригонометрической форме, не должно вызывать трудности. Желательно ознакомить всех учащихся с формулой и задачей 3. Если учитель сочтет возможным, можно предложить всем учащимся выполнить упражнения 55 и 56 (1, 2, 4). Эти упражнения полезны тем, что прежде чем их выполнять, необходимо провести анализ условия и наметить пути решения. Желательно, чтобы ученик видел, что первым действием в упражнении 56 (1) должно быть деление, а потом умножение на число i. В упражнении 56 (2) достаточно числитель и знаменатель умножить на число, сопряженное знаменателю. Упражнение 56 (4) можно решить разными путями: 1) второй множитель числителя представить в алгебраической форме и затем выполнить действия; 2) все числа записать в тригонометрической форме и затем выполнить действия. Упражнение 56 (3, 5) полезно проанализировать и обсудить пути решения, даже не выполняя всех вычислений.
Упражнения 59 и 60 интересны тем, что при их решении активно повторяется тригонометрия, что полезно перед экзаменами. Учащиеся, интересующиеся математикой, могут решить упражнение 60 самостоятельно после знакомства с приемами решения задачи 6 текста параграфа.
Уравнение, решение которого приведено в задаче 5, и упражнение 58 красиво решаются с помощью тригонометрической формы записи комплексного числа. К сожалению, не всегда аргумент находится так легко и красиво, поэтому на данном уроке не стоит усложнять упражнения. В § 6 учащиеся увидят общий прием решения квадратного уравнения z2 = а, где а — комплексное число.
На втором уроке можно провести самостоятельную работу, цель которой — проверить умение выполнять арифметические действия над числами, записанными как в алгебраической, так и в тригонометрической форме.
1. Выполнить действия и результат записать в тригонометрической форме:
1) ( 2 2 − 2 2 i ) (1+i) [ (−1+i)( 2 2 + 2 2 i ) ] ;
2) 2 1 2 + 3 2 i [ 3 2 − 1 2 i i ] .
2. Выполнить указанные действия и результат записать в алгебраической форме:
1) 3 (cos 12° + i sin 12°) · 2 (cos 18° + i sin 18°)
[ 0,5( cos 3π 7 +isin 3π 7 )⋅3( cos π 14 +isin π 14 ) ] ;
2) 0,5( cos 5π 3 +isin 5π 3 ) 4( cos 4π 3 +isin 4π 3 ) [ 0,7(cos 87°+isin 87°) 0,2(cos 42°+isin 42°) ] .
3. Решить уравнение z2 = 25i [z2 = −9i] с помощью тригонометрической формы комплексного числа.
Распределение материала параграфа по урокам отражено в таблице.
Номер урока
В результате изучения параграфа учащиеся должны уметь выполнять действия умножения и деления комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме при выполнении упражнений типа 53, 54.
Решение упражнений
57. 2) Модуль числа должен быть положительным, поэтому представим первый множитель в виде 3( −cos π 6 +i( −sin π 6 ) ) . Далее −cos π 6 =cos ( π+ π 6 )=cos 7π 6 , а −sin π 6 =sin ( π+ π 6 )=sin 7π 6 .
Преобразуем второй множитель, используя свойства четности и формулу Муавра:
( ( cos π 12 −isin π 12 ) ) 4 = ( cos ( − π 12 )+isin ( − π 12 ) ) 4 =
=cos ( − π 3 )+isin ( − π 3 ).
Выполним умножение
3( cos 7π 6 +isin 7π 6 ) ( cos ( − π 3 )+isin ( − π 3 ) )=3( cos 5π 6 +isin 5π 6 ).
3) Преобразования выполним в следующем порядке: представим числитель и знаменатель в тригонометрической форме, выполним деление, затем возведем в степень по формуле Муавра.
3 i+1=2( cos π 3 +isin π 3 ) , i−1= 2 ( cos ( − π 4 )+isin ( − π 4 ) ).
Частное равно 2 ( cos ( π 3 + π 4 )+isin ( π 3 + π 4 ) ) =
= 2 ( cos 7π 12 +isin 7π 12 ) . Применим формулу Муавра:
( 2 ( cos 7π 12 +isin 7π 12 ) ) 6 =8( cos 3π 2 +isin 3π 2 ).
58. 3) Представим число 2−2i 3 в тригонометрической форме: 2−2i 3 =4( cos π 3 +isin π 3 ) . Пусть z = r (cos φ + i sin φ). Данное уравнение примет вид r 2 (cos 2φ+isin 2φ)=4( cos π 3 +isin π 3 ) . Отсюда r = 2, 2φ= π 3 +2πk , k ∈ Z, φ= π 6 +πk , k ∈ Z. Все решения уравнения можно записать в виде z=2( cos ( π 6 +πk )+isin ( π 6 +πk ) ) , k ∈ Z. Решение в алгебраической форме имеет вид z 1 = 3 +i , z 2 =− 3 −i .
59. 4) Преобразуем дробь, применяя свойства степени, (1+i) 2n (1+i) (1−i) 2n (1−i) −1 = ( 1+i 1−i ) 2n (1+i)(1−i) . Произведение (1 + i) (1 − i) равно 2. Выполним деление:
2 ( (1+i)(1+i) (1−i)(1+i) ) 2n =2 ( 1+2i+ i 2 1− i 2 ) 2n =2 i 2n .
Запишем полученное число в тригонометрической форме 2 i 2n =2 ( cos π 2 +isin π 2 ) 2n .
Если п — четное, то z = 2 (cos 0 + i sin 0); если п — нечетное, то z = 2 (cos π + i sin π).
Преобразования можно выполнить иначе: представить числитель и знаменатель в тригонометрической форме, применить свойства степени и затем формулу Муавра.
61. ( 1+i tg α 1−i tg α ) n = ( cos α+isin α cos α−isin α ) n = cos nα+isin nα cos nα−isin nα = 1+i tg nα 1−i tg nα .
62. Рассмотрим одновременно решение обоих заданий, для чего введем обозначения:
Sn = sin x + sin 3x + ... + sin (2n − 1) x,
Σn = cos x + cos 3x + ... + cos (2n − 1) x.
Рассмотрим сумму Σn + iSn, группируя слагаемые парами. Получим
Тn = (cos x + i sin x) + (cos 3x + i sin 3x) + ...
... + (cos (2 n − 1) x + i sin (2 n − 1) x).
Здесь первая пара слагаемых, записанных в скобках, представляет собой тригонометрическую форму некоторого комплексного числа z, а остальные пары в соответствии с формулой Муавра соответственно z3, z5, ..., z2n − 1, причем суммы действительных частей равны Σn, а мнимых — Sn. Сумму Тn можно записать так: Тn = z + z3 + ... + z2n − 1 = z (1 + z2 + ... + z2n − 2). Выражение в скобках представляет собой сумму геометрической прогрессии, у которой b1 = 1, q = z2. Эта сумма равна z 1− z 2n 1− z 2 = z− z 2n+1 1− z 2 . Таким образом, T n = cos x+isin x−(cos (2n+1)x+isin (2n+1)x) 1−cos 2x−isin 2x . Умножая числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю, и выполняя преобразования с применением теоремы сложения, получим дробь
(cos x−cos (2n+1)x+i(sin x−sin (2n+1)x))(1−cos 2x+isin 2x) (1−cos 2x) 2 + sin 2 2x ,
после преобразования которой получим число a c + b c i , где
a=cos x−cos x⋅cos 2x−cos (2n+1)x+cos 2x⋅cos (2n+1)x−
− sin x⋅sin 2x+sin 2x⋅sin (2n+1)x ,
b=sin 2x⋅cos x−sin 2x⋅cos (2n+1)x+sin x−sin x⋅cos 2x−
− sin (2n+1) x+cos 2x⋅sin (2n+1) ,
c=2(1−cos 2x) .
Здесь дробь a c представляет собой действительную часть, а дробь b c — мнимую часть комплексного числа Тn. В числителе первой дроби сумма первого, второго и пятого слагаемых равна 0, а сумма четвертого и шестого равна cos (2n − 1) х. Таким образом,
Σ n = 2cos (2n−1)x−cos (2n+1)x 4 sin 2 x = 2sin 2nx⋅sin x 4 sin 2 x = sin 2nx 2sin x .
В числителе второй дроби сумма первого и четвертого слагаемых равна sin x, а сумма второго и шестого равна sin (2n − 1) х.
|
