Изображение множества точек, являющегося решением уравнения первой степени с двумя неизвестными, не ново для учащихся старших классов. Решение систем уравнений с помощью графика знакомо школьникам с основной школы. Теперь им предстоит углубить знания, полученные ранее, и ознакомиться с решением неравенств с двумя переменными и их систем. Этот материал входил в программу основной школы в семидесятых годах прошлого века. В течение всего четырех уроков учащиеся получали представления о существовании и некоторых методах решения неравенств, не только линейных, но и нелинейных, содержащих вторую степень переменной. Таким образом закреплялись и углублялись знания учащихся об уравнениях, неравенствах и функциях. В старших классах средней школы традиционно решаются самые разные неравенства с одной переменной. Однако на языке неравенств (и не обязательно с одной переменной) нередко формулируются задачи во многих приложениях математики. К исследованию систем неравенств с достаточно большим числом переменных сводятся многие экономические задачи. Это, например, задачи о нахождении наиболее выгодных вариантов перевозок, наиболее выгодных способах раскроя материала, об оптимальном выборе кормов, о наиболее эффективных режимах работы предприятий и др. Такие задачи решаются с помощью линейного программирования. Рассмотрим простой пример. Задача. С поля на овощную базу перевозят овощи на машинах грузоподъемностью 5 т и 10 т. За 1 ч база может принять не более 10 машин, при этом не более 8 машин грузоподъемностью 5 т, не более 6 машин грузоподъемностью 10 т. Сколько машин грузоподъемностью 5 т и 10 т нужно отправлять с поля на базу за 1 ч, чтобы в этих условиях перевозилось наибольшее количество овощей? Если ввести обозначения х и у, принимая за х количество машин по 5 т, а за у — по 10 т, то условие запишется в виде { 0≤x≤8, 0≤y≤6, x+y≤10, что можно изобразить на рисунке многоугольником (рис. 45). Задача сводится к отысканию точки этого многоугольника, в которой линейная функция S (x, у) = 5х + 10y принимает наибольшее значение. В данном случае это одна из вершин многоугольника. Вычисляя значение функции в каждой вершине, находим наибольшее значение.
Рассмотренная задача демонстрирует общий подход к задачам линейного программирования с двумя переменными и небольшим числом условий, заданных в виде неравенств. На практике число переменных и число ограничений, заданных в виде линейных неравенств, может быть очень большим. По существу, способ решения таких задач одинаков. Но вместо многоугольника на плоскости приходится рассматривать многогранники в многомерных пространствах. Отыскание оптимальных решений в этих случаях становится очень сложным. Для их нахождения постоянно изобретаются новые методы. Составление неравенства, изображение множества его решений на координатной плоскости (в нашем курсе), интерпретация решения ведут не только к более глубокому знанию математики, но и к осознанному применению этих знаний при решении практических задач. Учебный материал главы построен так, что учащиеся постигают его в ходе решения конкретных задач, а затем обобщения изученных примеров. Сначала рассматриваются уравнения с двумя переменными, линейные или нелинейные, затем неравенства и, наконец, системы уравнений и неравенств. Наиболее трудные задачи предназначены учащимся, интересующимся математикой. Изучением этой главы подводится итог известным учащимся методам решения уравнений и неравенств. Рассматриваются методы, с которыми они ранее знакомы не были, но знания, которые при этом приходится применять, хорошо известны и предстают с новой для учащихся стороны. Бóльшая часть учебного материала предназначена для учащихся профильных классов, однако и для общеобразовательных классов найдется посильный и интересный материал. В результате изучения главы все учащиеся должны уметь решать упражнения типа 36, 37 и из рубрики «Проверь себя!», а также уметь отвечать на вопросы 1—5 к главе. Учащиеся профильных классов, кроме того, должны уметь решать упражнения типа 38, 41, 43 и отвечать на все вопросы к главе.
