Понедельник, 18.01.2021, 09:40
Ш  К  О  Л  А     П  И  Ф  А  Г  О  Р  А
      Предмет математики настолько серьезен, что нужно
не упускать случая, сделать его немного занимательным".
                                                                           Блез Паскаль
Главная | Регистрация | Вход Приветствую Вас Гость | RSS
ПАМЯТКИ ПО МАТЕМАТИКЕ   ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ   ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ   МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
УРОКИ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛЕ


МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КЛАДОВАЯ


В МИРЕ ЗАДАЧ
ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
МАТЕМАТИКА В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ
ВАРИ, КОТЕЛОК!
УДИВИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
В МИРЕ ИНТЕРЕСНОГО
Категории раздела
10 КЛАСС [78]
11 КЛАСС [65]
Статистика

Онлайн всего: 8
Гостей: 8
Пользователей: 0
Форма входа

Главная » Файлы » ПРЕПОДАЕМ АЛГЕБРУ И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА » 11 КЛАСС

Урок обобщения и систематизации знаний
26.10.2014, 14:56
      На этом уроке учащимся предстоит еще раз осмыслить расширение понятия числа. Учащиеся должны увидеть, что любое число (от натурального до комплексного) можно представить как в алгебраической, так и в тригонометрической форме. Желательно вернуться к геометрическому смыслу модуля числа. С помощью изображенных на готовых рисунках комплексной плоскости чисел показать модуль и аргумент каждого из чисел. Рекомендуется обсудить общее и различное в арифметических действиях над действительными и комплексными числами. В результате учащиеся убеждаются в том, что каждое из известных им множеств чисел от натуральных до иррациональных является подмножеством множества комплексных чисел.
      На уроке (в профильных классах) рекомендуется решить упражнения типа 85, 83, 78, 87, 80—82, 91, 92. С учащимися, интересующимися математикой, можно обсудить упражнения 96, 101, 102, 105, которые позволят показать применение комплексных чисел и в алгебре, и в геометрии, и в тригонометрии.

Решение упражнений

      96.  2)  Представим число z= 3 −i в тригонометрической форме. Так как a= 3 , b = −1, то | z | = 2, значит, tg φ=− 1 3 , φ=− π 6 . Следовательно, z=2( cos ( − π 6 )+isin ( − π 6 ) )  , откуда
z 6 = ( 2 ( cos ( − π 6 )+isin ( − π 6 ) ) ) 6 =64(cos π+isin π)=−64 .
      97.  1)  Запишем z1 и z2 в виде z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2. По определению равенства комплексных чисел получим систему четырех уравнений { x 1 +2 x 2 =1, y 1 +2 y 2 =1, 3 x 1 − y 2 =2, 3 y 1 + x 2 =−3. Выразив из первого уравнения x1 = 1 − 2х2, из второго y1 = 1 − 2у2, и подставив в четвертое и третье уравнения системы, получим
{ 3 (1−2 x 2 )− y 2 =2, 3 (1−2 y 2 )+ x 2 =−3;  { 6 x 2 + y 2 =1, x 2 −6 y 2 =−6.
Решая систему сложением уравнений, получим х2 = 0, x1 = 1, у2 = 1, у1 = −1, откуда z1 = 1 − i, z2 = i.
      101.  Пусть z5 = t. Решим уравнение t2 − t − 992 = 0. Получим корни t1 = 32, t2 = −31. Решая уравнение z5 = 32, получим пять корней, применяя формулу z 5 = 32 5 ( cos  0+2πk 5 +isin  0+2πk 5 ) , откуда
z 0 =2(cos 0+isin 0)=2;   z 1 =2( cos  2π 5 +isin  2π 5 );
z 2 =2( cos  4π 5 +isin  4π 5 );   z 3 =2( cos  6π 5 +isin  6π 5 );
z 4 =2( cos  8π 5 +isin  8π 5 ).
      Здесь z2 и z3 удовлетворяют требованию задачи, так как косинус во второй и третьей четвертях отрицателен. Аналогично, решая уравнение z5 = −31, получим формулу z 5 = 31 5 ( cos  π+2πk 5 +isin  π+2πk 5 ) , по которой найдем остальные корни исходного уравнения. Удовлетворять требованию задачи будут корни z 1 = 31 5 ( cos  3π 5 +isin  3π 5 ) , z 2 = 31 5 (cos π+isin π) , z 3 = 31 5 ( cos  7π 5 +isin  7π 5 ) . В первой и четвертой четвертях значения косинуса положительны, следовательно, z0 и z4 не соответствуют условию задачи.
      102.  Пусть K — точка пересечения медиан треугольника ABC (рис. 44), М — середина отрезка АВ, т. е. ее координаты равны полусумме координат концов отрезка. На комплексной плоскости координата точки М соответствует комплексному числу zM, которое равно z A + z B 2 . Координата вектора МС равна разности координат векторов ОС и ОМ, т. е. z C − z M = z C − z A + z B 2 . Но вектор MK составляет 1 3  вектора MC, т. е. z K − z M = 1 3 ( z C − z A + z B 2 ) , откуда z K = z M + 1 3 ( z C − z A + z B 2 ) , следовательно, z K = z A + z B 2 + 1 3 z C − 1 3 ⋅ z A + z B 2 = z A + z B + z C 3 .


      105.  Запишем комплексное число z = cos 15° + i sin 15°, тогда z2 = (cos 15° + i sin 15°)2 = cos 30° + i sin 30° =  3 2 +i 1 2 . Пусть cos 15° = x, sin 15° = у, тогда (cos 15° + i sin 15°)2 = (x + iy)2 = x2 + 2ixy + i2y2 =
= x2 − y2 + 2ixy =  3 2 +i 1 2 . По определению равенства комплексных чисел имеем { x 2 − y 2 = 3 2 , 2xy= 1 2 . Из второго уравнения y= 1 4x , откуда x 2 − 1 16 x 2 = 3 2 .
      Получим уравнение 16 x 4 −8 3 x 2 −1=0 , пусть х2 = t, тогда уравнение примет вид 16 t 2 −8 3 t 2 −1=0 , t 1, 2 = 4 3 ±8 16 = 2 3 ±4 8 . Выбираем положительный корень, тогда t= 2 3 +4 8 = ( 1+ 3 ) 2 8 . Так как х2 = t, то x= 1+ 3 2 2 = 2 + 6 4 , тогда y= 1 6 + 2 = 6 − 2 4 . Следовательно,
cos 15°= 6 + 2 4 ,  sin 15°= 6 − 2 4 .

Контрольная работа № 7
1.     Вычислить:
1)  (3 − 2i) (4 + i) − (7 − 5i) [(4 − 5i) − (2 + i) (1 − 3i)];
2)   1+i 2−3i +( 3 5 −i ):2,6 [ 2−i 1+3i −( 3 5 − 1 2 i )⋅1,4 ] .
2.     Выполнить действия i5 + i3 + i2  [i4 + i5 + i3] и результат представить в тригонометрической форме.
3.     Представить в тригонометрической форме число:
1)  5   [−3];   2)   3 +i 2  [ 1+ 3 i 2 ]  .
4.     Выполнить действия:
1)   2( cos  π 8 +isin  π 8 )⋅3( cos  π 6 +isin  π 6 )
[ 2 ( cos  2π 3 +isin  2π 3 )⋅ 3 ( cos  π 4 +isin  π 4 ) ] ;
2)   14 (cos 18°+isin 18°) 7 (cos 36°+isin 36°)  [ 3(cos 15°+isin 15°) 5(cos 60°+isin 60°) ] .
5.     Найти множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию: 1)  | z | = 2   [| z | = 5];   2)  | z − 1 | < 3   [| z + 2 | < 2].
6.     Решить уравнение:
1)   z2 − 4z + 7 = 0   [z2 − 2z + 6 = 0];   2)  z3 = −27   [z4 = 8i].
Категория: 11 КЛАСС | Добавил: admin | Теги: Методика преподавания математики в, Уроки математики, советы по преподаванию алгебры в 11, поурочное планирование алгебры в 11
Просмотров: 665 | Загрузок: 0 | Рейтинг: 0.0/0
УЧИТЕЛЮ ИНФОРМАТИКИ
КОНСПЕКТЫ УРОКОВ
ВНЕКЛАССНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ПОСОБИЯ И МЕТОДИЧКИ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ЗАДАНИЯ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ


ИНФОРМАТИКА В ШКОЛЕ


ИНФОРМАТИКА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ
ИНФОРМАТИКА В 3 КЛАССЕ
ИНФОРМАТИКА В 4 КЛАССЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 3 КЛАСС
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 4 КЛАСС
ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДЛЯ ДЕТЕЙ
СКАЗКА "ПРИКЛЮЧЕНИЯ ЭЛЕКТРОШИ"
ИГРОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ НА УРОКАХ ИНФОРМАТИКИ
ИГРОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ВИКТОРИНЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ
КОМПЬЮТЕРНЫЕ ЧАСТУШКИ
ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ
Поиск


Друзья сайта
  • Создать сайт
  • Все для веб-мастера
  • Программы для всех
  • Мир развлечений
  • Лучшие сайты Рунета
  • Кулинарные рецепты

  • Copyright MyCorp © 2021
    Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru