На этом уроке учащимся предстоит еще раз осмыслить расширение понятия числа. Учащиеся должны увидеть, что любое число (от натурального до комплексного) можно представить как в алгебраической, так и в тригонометрической форме. Желательно вернуться к геометрическому смыслу модуля числа. С помощью изображенных на готовых рисунках комплексной плоскости чисел показать модуль и аргумент каждого из чисел. Рекомендуется обсудить общее и различное в арифметических действиях над действительными и комплексными числами. В результате учащиеся убеждаются в том, что каждое из известных им множеств чисел от натуральных до иррациональных является подмножеством множества комплексных чисел. На уроке (в профильных классах) рекомендуется решить упражнения типа 85, 83, 78, 87, 80—82, 91, 92. С учащимися, интересующимися математикой, можно обсудить упражнения 96, 101, 102, 105, которые позволят показать применение комплексных чисел и в алгебре, и в геометрии, и в тригонометрии.
Решение упражнений
96. 2) Представим число z= 3 −i в тригонометрической форме. Так как a= 3 , b = −1, то | z | = 2, значит, tg φ=− 1 3 , φ=− π 6 . Следовательно, z=2( cos ( − π 6 )+isin ( − π 6 ) ) , откуда z 6 = ( 2 ( cos ( − π 6 )+isin ( − π 6 ) ) ) 6 =64(cos π+isin π)=−64 . 97. 1) Запишем z1 и z2 в виде z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2. По определению равенства комплексных чисел получим систему четырех уравнений { x 1 +2 x 2 =1, y 1 +2 y 2 =1, 3 x 1 − y 2 =2, 3 y 1 + x 2 =−3. Выразив из первого уравнения x1 = 1 − 2х2, из второго y1 = 1 − 2у2, и подставив в четвертое и третье уравнения системы, получим { 3 (1−2 x 2 )− y 2 =2, 3 (1−2 y 2 )+ x 2 =−3; { 6 x 2 + y 2 =1, x 2 −6 y 2 =−6. Решая систему сложением уравнений, получим х2 = 0, x1 = 1, у2 = 1, у1 = −1, откуда z1 = 1 − i, z2 = i. 101. Пусть z5 = t. Решим уравнение t2 − t − 992 = 0. Получим корни t1 = 32, t2 = −31. Решая уравнение z5 = 32, получим пять корней, применяя формулу z 5 = 32 5 ( cos 0+2πk 5 +isin 0+2πk 5 ) , откуда z 0 =2(cos 0+isin 0)=2; z 1 =2( cos 2π 5 +isin 2π 5 ); z 2 =2( cos 4π 5 +isin 4π 5 ); z 3 =2( cos 6π 5 +isin 6π 5 ); z 4 =2( cos 8π 5 +isin 8π 5 ). Здесь z2 и z3 удовлетворяют требованию задачи, так как косинус во второй и третьей четвертях отрицателен. Аналогично, решая уравнение z5 = −31, получим формулу z 5 = 31 5 ( cos π+2πk 5 +isin π+2πk 5 ) , по которой найдем остальные корни исходного уравнения. Удовлетворять требованию задачи будут корни z 1 = 31 5 ( cos 3π 5 +isin 3π 5 ) , z 2 = 31 5 (cos π+isin π) , z 3 = 31 5 ( cos 7π 5 +isin 7π 5 ) . В первой и четвертой четвертях значения косинуса положительны, следовательно, z0 и z4 не соответствуют условию задачи. 102. Пусть K — точка пересечения медиан треугольника ABC (рис. 44), М — середина отрезка АВ, т. е. ее координаты равны полусумме координат концов отрезка. На комплексной плоскости координата точки М соответствует комплексному числу zM, которое равно z A + z B 2 . Координата вектора МС равна разности координат векторов ОС и ОМ, т. е. z C − z M = z C − z A + z B 2 . Но вектор MK составляет 1 3 вектора MC, т. е. z K − z M = 1 3 ( z C − z A + z B 2 ) , откуда z K = z M + 1 3 ( z C − z A + z B 2 ) , следовательно, z K = z A + z B 2 + 1 3 z C − 1 3 ⋅ z A + z B 2 = z A + z B + z C 3 .
105. Запишем комплексное число z = cos 15° + i sin 15°, тогда z2 = (cos 15° + i sin 15°)2 = cos 30° + i sin 30° = 3 2 +i 1 2 . Пусть cos 15° = x, sin 15° = у, тогда (cos 15° + i sin 15°)2 = (x + iy)2 = x2 + 2ixy + i2y2 = = x2 − y2 + 2ixy = 3 2 +i 1 2 . По определению равенства комплексных чисел имеем { x 2 − y 2 = 3 2 , 2xy= 1 2 . Из второго уравнения y= 1 4x , откуда x 2 − 1 16 x 2 = 3 2 . Получим уравнение 16 x 4 −8 3 x 2 −1=0 , пусть х2 = t, тогда уравнение примет вид 16 t 2 −8 3 t 2 −1=0 , t 1, 2 = 4 3 ±8 16 = 2 3 ±4 8 . Выбираем положительный корень, тогда t= 2 3 +4 8 = ( 1+ 3 ) 2 8 . Так как х2 = t, то x= 1+ 3 2 2 = 2 + 6 4 , тогда y= 1 6 + 2 = 6 − 2 4 . Следовательно, cos 15°= 6 + 2 4 , sin 15°= 6 − 2 4 .
