На этих уроках систематизируются знания, полученные учащимися фактически, при изучении двух глав учебника. Поэтому в начале первого урока можно повторить основные понятия, введенные во II главе. Сделать это можно с помощью вопросов 4—13 к главе II. Вопросы к главе III следует дополнять вопросами практического характера. Например, после ответов на вопросы 1—2 следует спросить учащихся о том, как найти промежутки возрастания (убывания) функции; после ответа на вопрос 3 спросить о практическом нахождении точек максимума и минимума функции; после ответа на вопрос 4 выяснить практическое значение теоремы Ферма и т. д.
После такой работы с вопросами к главе следует предложить учащимся выполнить (с большой долей самостоятельности) задания блока «Проверь себя!».
Учитель должен проверить работу каждого учащегося и на втором уроке (после анализа работ) устранить обнаруженные ошибки.
Закрепить приобретенные на предыдущих уроках умения в исследовании функций и построении их графиков можно с помощью упражнений к главе III.
Решение упражнений
73. Прямая (отличная от прямой вида х = с) имеет с параболой ровно одну общую точку только в том случае, если эта точка — точка касания графиков. Парабола у = х2 + а и прямая у = −4х + 5 имеют ровно одну общую точку, когда дискриминант уравнения х2 + 4х + а − 5 = 0 равен нулю, т. е. когда 16 − 4а + 20 = 0. Ответ. При а = 9.
74. Пусть S (r) — площадь сечения тоннеля, тогда S(r)= π r 2 2 +2r⋅ p−2r−πr 2 = r 2 2 (−π−4)+rp, где 0<r< p 4 . На указанном интервале значений r имеем S (r) = 0, если (−π − 4) r + р = 0, т. е. при r 0 = p π+4 . Слева от r0 значения S′ (r) > 0, справа от r0 значения S′ (r) < 0, значит, r0 — точка максимума функции S (r). Ответ. При r= p 4+π .
75. Из подобия треугольников x a = x+a AC , откуда AC= a(x+a) x ;
S(x)= a (x+a) 2 2x , S ′ (x)= 2a(x+a)⋅2x−a (x+a) 2 ⋅2 4 x 2 =
2a x 2 +2 a 2 x−a x 2 −2 a 2 x− a 3 2 x 2 = a( x 2 − a 2 ) 2 x 2 ; S′ (x) = 0 при х = а, так как х > 0 и а > 0. Если х < а, то S′ (x) < 0; если х > а, то S′ (x) > 0, потому х = а — точка минимума функции S (x).
77. Пусть h — высота цилиндра, r — радиус основания (r > 0, h > 0), тогда площадь поверхности S = 2πrh + 2πr2, откуда h= S−2π r 2 2πr . Объем цилиндра V(r)= π r 2 (S−2π r 2 ) 2πr = rS 2 −π r 3 ; V ′ (r)= S 2 −3π r 2 . V′ (r) = 0 при r 0 = S 6π . Если r < r0, то V′ (r) > 0; если r > r0, то V′ (r) < 0, т. е. r0 — точка максимума, тогда V( S 6π )= S 2 S 6π − πS 6π S 6π = S 3 S 6π .
81. F cos α = (mg − F sin α) k,
откуда F= mgk cos α+ksin α =F(α); F ′ (α)= −mgk(−sin α+kcos α) (cos α+ksin α) 2 .
F ′ (α) = 0, если −sin α + k cos α = 0, откуда tg α = k или α = arctg k. Если 0 ≤ α ≤ arctg k, то F ′ (α) < 0; если arctg k < α ≤ π 2 , то F ′ (α) > 0, значит, α = arctg k — точка минимума функции F (α).
| 