Повторение теоретического материала главы желательно проводить при непосредственном применении его в практических ситуациях. Так, например, повторение физического и геометрического смысла производной можно провести совместно, используя график движения точки на прямолинейном участке пути (рис. 20). По этому графику можно задавать вопросы, связанные с определением средней скорости на различных участках пути, а также предлагать задания на сравнение мгновенных скоростей в различные моменты времени. Знание определения производной учащиеся должны продемонстрировать в процессе нахождения «по определению» производной какой-либо конкретной функции (например, функции f (x) = х2 − 3х). На этих уроках используются вопросы к главе II.
На первом уроке формулы производных элементарных функций и правил дифференцирования, написанные на плакате, могут быть вывешены для обозрения. На втором уроке плакат следует убрать и потребовать от учащихся уверенного применения всех изученных формул. На уроках обобщающего повторения решаются ранее не выполненные задания из раздела «Упражнения к главе II». Обязательный уровень усвоения материала в общеобразовательных и профильных классах можно проверить с помощью блоков заданий «Проверь себя!».
Решение упражнений
122. f ′ (x) = 3х2 + 6х + а. f ′ (x) ≥ 0 для всех действительных значений х, если D = 36 − 12а ≤ 0 (старший коэффициент квадратного трехчлена 3 > 0), т. е. при а ≥ 3. 123. f ′ (x) = 3ax2 − 12x − 1 < 0 при любом х, если { 3a<0, 144+12a<0, откуда а < −12. 124. 1) f ′ (x)=2ax+ 2 x 3 = 2(a x 4 +1) x 3 . Уравнение 2(a x 4 +1) x 3 =0 не имеет действительных корней при а ≥ 0. 126. 1) Найдем абсциссу точки пересечения графиков: 2 x =2 6−x , x = 6 − x, x = 3. Далее y ′ 1 = ( 2 x ) ′ = 1 x ; y ′ 2 = ( 2 6−x ) ′ =− 1 6−x , y ′ 1 (3)= 1 3 , y ′ 2 (3)=− 1 3 . Касательная к графику первой функции в точке х = 3 имеет угол наклона с осью Ох, равный π 6 , касательная к графику второй функции — угол, равный − π 6 . Между прямыми, а значит, и между графиками функции в точке x = 3 угол равен π 3 . 127. 1) y( 3π 2 )=2sin 3π 4 = 2 , y ′ =cos x 2 , y ′ ( 3π 2 )=cos 3π 4 =− 2 2 . Уравнение касательной y= 2 − 2 2 ( x− 3π 2 ) или y=− 2 2 x+ 2 + 3π 2 . 128. 1) f ′ (x) = 2x − 4. Касательная параллельна оси Ох в той точке, где f ′ (x) = 0, т. е. если 2x − 4 = 0, х = 2. f (2) = 22 − 4 · 2 = −4. Уравнение касательной у = −4. 129. y= 1 3 x 3 − 5 2 x 2 , y = 6x; y′ = x2 − 5x. Так как угловой коэффициент прямой равен 6, то y′ = х2 − 5х = 6, т. е. x2 − 5x − 6 = 0, откуда x1 = 6, х2 = −1. Надо написать уравнения касательных в точках M1 (x1; y1) и М2 (х2; у2), где y 1 =y(6)= 1 3 ⋅ 6 3 − 5 2 ⋅ 6 2 = 6 2 ( 2− 5 2 )=−18, y 2 =y(−1)=− 1 3 − 5 2 =− 17 6 . Уравнения касательных y − yk = 6 (х − xk), где k = 1; 2, т. е. у + 18 = 6 (х − 6), y+ 17 6 =6(x+1), или у = 6х − 54 и y=6x+ 19 6 . 130. y ′ =− 4 x 2 , y′ (1) = −4. Уравнение касательной к гиперболе в точке (1; 4) имеет вид у − 4 = −4 (х − 1), или y = −4х + 8. Прямая у = −4х + 8 пересекает координатные оси в точках (0; 8) и (2; 0), а искомая площадь равна 1 2 · 8 · 2 = 8 (кв. ед.). 131. y ′ ( x ) =− k x 2 , y ′ ( x 0 )=− k x 0 2 . Уравнение касательной y− k x 0 =− k x 0 2 (x− x 0 ), или y=− kx x 0 2 + 2k x 0 . Если x = 0, то y= 2k x 0 , а если y = 0, то x = 2x0. Следовательно, касательная пересекает координатные оси в точках ( 0; 2k x 0 ) и (2x0; 0), а искомая площадь равна 1 2 ⋅ 2k | x 0 | ⋅2| x 0 |=2k .
