Цель уроков — подвести итог исследованию элементарных функций методами элементарной математики и подготовить учащихся к исследованию функций методами математического анализа. На этих уроках можно использовать плакаты или презентацию с графиками всех изученных функций (не только тригонометрических), которые можно сделать с помощью учащихся; повторить, как по графику найти область определения и множество значений функции; выполнить аналитическое решение подобных задач на примере некоторых заданий из упражнений 108, 109, 114, 122, 123, 131. На тех же готовых графиках можно проиллюстрировать четные и нечетные функции, повторить аналитическое решение задач на выяснение четности и нечетности (упражнения 110, 124); рассмотреть интервалы знакопостоянства и промежутки возрастания и убывания функций (упражнения 112, 113, 121, 129); выделить периодичность как характерное свойство тригонометрических функций (упражнения 111, 125). Акцентировать внимание учащихся на возможности использования графика и свойств функции при решении уравнений и неравенств (упражнения 115—118). В ходе решения таких упражнений, как 119, 126, напомнить учащимся, что выяснение наличия или количества корней уравнения с помощью графика часто приводит к быстрому нахождению результата. В итоге полезно выполнить построение графиков функций из упражнений 120, 130, повторить определение функции, перечислить известные элементарные функции, а также, повторяя схему исследования функции, кратко напомнить аналитические пути ответа на вопрос каждого пункта схемы. В качестве дополнительных вопросов на всех этапах урока можно использовать вопросы к главе.
Решение упражнений
130. 2) y=cos x− cos 2 x , y=cos x−| cos x |;
y={ 0 при cos x≥0; 2cos x при cos x<0. График данной функции изображен на рисунке 15.
6) Область определения функции y = 2sin x все действительные числа, множество значений y > 0. Функция периодическая Т = 2π; возрастает на тех промежутках, на которых возрастает функция у = sin x (по теореме о возрастании сложной функции). График изображен на рисунке 16.
131. 1) y = 12 sin x − 5 cos x = 13( 12 13 sin x− 5 13 cos x )= 13 sin (x − φ), φ=arcsin 5 13 , откуда −13 ≤ y ≤ 13. 2) Функцию у = cos2 x − sin x можно представить как у = 1 − sin x − sin2 x, y= 5 4 − ( sin x+ 1 2 ) 2 . Наибольшее значение у принимает, если sin x+ 1 2 =0 ( sin x=− 1 2 ), причем y max = 5 4 . Наименьшее значение y min = 5 4 − ( 1+ 1 2 ) 2 =−1 функция принимает, если sin x = 1. Множество значений функции — отрезок [ −1; 5 4 ] . График на рисунке 17 иллюстрирует множество значений функции.
132. 1) Преобразуем левую часть неравенства sin x − cos x ≥ 0, получив 2 ( 1 2 sin x− 1 2 cos x )= 2 sin ( x− π 4 ) . Решив неравенство sin ( x− π 4 )≥0, получим результат π 4 +2πn≤x≤ 5π 4 +2πn, n ∈ Z.
