В алгебре логики имеются законы,
которые записываются в виде соотношений. Логические законы позволяют
производить равносильные (эквивалентные) преобразования логических
выражений. Преобразования называются равносильными, если истинные
значения исходной и полученной после преобразования логической функции
совпадают при любых значениях входящих в них логических переменных.
Для простоты записи приведем основные законы алгебры логики для двух логических переменных А и В. Эти законы распространяются и на другие логические переменные.
1. Закон противоречия: 2. Закон исключенного третьего: 3. Закон двойного отрицания: 4. Законы де Моргана: 5. Законы повторения: A & A = A; A v A = A; В & В = В; В v В = В.
6. Законы поглощения: A ∨ (A & B) = A; A & (A ∨ B) = A.
7. Законы исключения констант: A ∨ 1 = 1; A ∨ 0 = A; A & 1 = A; A & 0 = 0; B ∨ 1 = 1; B ∨ 0 = B; B & 1 = B; B & 0 = 0.
8. Законы склеивания: 9. Закон контрапозиции: (A ⇔ B) = (B ⇔ A).
Для логических переменных справедливы и
общематематические законы. Для простоты записи приведем
общематематические законы для трех логических переменных A, В и С:
1. Коммутативный закон: A & B = B & A; A ∨ B = B ∨ A.
2. Ассоциативный закон: A & (B & C) = (A & B) & C; A ∨ (B ∨ C) = (A ∨ B) ∨ C.
3. Дистрибутивный закон: A & (B ∨ C) = (A & B) ∨ (A & C).
Как уже отмечалось, с помощью законов
алгебры логики можно производить равносильные преобразования логических
выражений с целью их упрощения. В алгебре логики на основе принятого
соглашения установлены следующие правила (приоритеты) для выполнения
логических операций: первыми выполняются операции в скобках, затем в
следующем порядке: инверсия (отрицание), конъюнкция ( & ),
дизъюнкция (v), импликация (⇒), эквиваленция (⇔)
Выполним преобразование, например, логической функции применив соответствующие законы алгебры логики.
|