В ряде задач используют свойства
параллельных прямых: при пересечении двух параллельных прямых третьей
образуются равные углы (рис. 170). Рис. 170.
Квартеты равных углов:?1 = ?4 = ?6 = ?8; ?2 = ?3 = ?5 = ?7.
Особенно часто эти свойства применяются при решении задач на параллелограмм.
Примеры решения задач
97. В параллелограмме ABCD проведена
биссектриса угла А, которая пересекает сторону ВС в точке F. Найдите
длину BF, если сторона АВ = 11 (рас. 171).
Рис. 171.
Решение.
Из рисунка видно, что ?BFA = ?FAD (внутренние накрест лежащие при
параллельных прямых), но ?BAF = ?FAD по условию, и поэтому ?BFA = ?BAF.
Значит, треугольник ABF – равнобедренный, и BF = АВ = 11.
Ответ: 11.
98. В
параллелограмме ABCD сторона АВ равна 6 см, а высота, проведенная к
основанию AD, равна 3 см. Биссектриса угла BAD пересекает сторону ВС в
точке М так, что МС = 4 см. N – точка пересечения биссектрисы AM и
диагонали BD. Вычислить площадь треугольника BNM (рис. 172).
Рис. 172.
Решение.
Пусть АВCD – данный в условии задачи параллелограмм. Проведем через
точку N высоту параллелограмма QR. Обозначим через ? величину угла ВАМ;
тогда величина угла АМВ равна ?, т. к. ВС||AD и AM – секущая.
Следовательно, треугольник АВМ равнобедренный и ВМ = АВ = 6 см, откуда
заключаем, что ВС = AD = ВМ + МС = 6 + 4 = 10 см. Поскольку ?ВМА = ?MAD и
?MBN = ?BDA, как накрест лежащие углы при параллельных ВС и AD, то
треугольники BMN и AND подобны по двум углам. Так как в подобных
треугольниках сходственные стороны пропорциональны сходственным высотам,
то из подобия треугольников AND и BNM имеем: откуда QN = 9/8 см.
Площадь треугольника BNM равна: Ответ: 27/8 см2.
Задачи для самостоятельного решения
99. В параллелограмме ABCD угол BCD равен
60°, длина стороны АВ равна а. Биссектриса угла BCD пересекает сторону
AD в точке N. Найдите площадь треугольника NCD.
100. Периметр параллелограмма равен 90 см и
острый угол содержит 60°. Диагональ параллелограмма делит его тупой
угол в отношении 1:3. Найдите стороны параллелограмма.
101. В параллелограмме ABCD биссектриса
тупого угла В пересекает сторону AD в точке F. Найдите периметр
параллелограмма, если АВ = 12 и AF: FD = 4:3. | 
