Если в условии задачи говорится об
описанной около треугольника окружности, то в большинстве случаев
строить её не нужно. И наоборот, когда речь идёт о вписанной в
треугольник окружности. Здесь не только нужно строить саму окружность,
но и проводить радиусы к точкам касания (перпендикуляры к сторонам), а
также соединять центр окружности с вершинами треугольника. При этом
образуются равные треугольники.
Примеры решения задач
92. В прямоугольном треугольнике точка
касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5 и
12 см. Найдите катеты треугольника (рис. 168). Рис. 168.
Решение.
Впишем в треугольник ABC окружность и соединим её центр О с вершинами
В, С. Проведём также перпендикуляры ОК, ON, ОМ (см. рис.). Они являются
радиусами вписанной в треугольник окружности. Из равенства треугольников
ВМО и BNO следует, что ВМ = BN = 5. Аналогично, из равенства
треугольников ОКС и ONC следует, что КС = NC = 12. Заметим также, что
AMOK– квадрат и, значит, AM = АК = r. Получаем, что АВ = АМ + МВ = r +
5, АС = АК + КС = r + 12. По теореме Пифагора получаем: АВ2+ АС2= ВС2.
(r + 5)2+ (r + 12)2= 172;
r2+ 10r + 25 + r2+ 24r + 144 = 289;
2r2+ 34r – 120 = 0;
r2+ 17r – 60 = 0; r = 3.
Катеты равны 5 + r = 8 и 12 + r = 15.
Ответ: 8 см; 15 см.
93. В
треугольник вписана окружность с радиусом 4. Одна из сторон
треугольника разделена точкой касания на отрезки, длины которых 6 и 8.
Найдите длины сторон треугольника (рис. 169).
Рис. 169.
Решение.
Как и в предыдущей задаче, изобразим вписанную в треугольник окружность
и соединим центр окружности О с вершинами треугольника. Проведем также
перпендикуляры ОМ, ОТ, ОК, являющиеся радиусами окружности. Получены три
пары равных треугольников: OAK и ОAT, ОВМ и ОВТ, ОСМ и ОСК. По условию
одна из сторон треугольника разделена точкой касания на отрезки, длины
которых 6 и 8. Пусть для определенности эта сторона – ВС и ВМ = 8, МС =
6. Тогда ВТ = ВМ = 8, СК = СМ = 6. Длины отрезков АК и AT обозначим
через х. Для нахождения величины х воспользуемся формулой S = рг. По
формуле Герона Ответ: 13; 14; 15.
Задачи для самостоятельного решения
94. Точка касания окружности, вписанной в
равнобедренный треугольник, делит боковую сторону на отрезки в 3 и 4 см,
считая от основания. Найдите периметр треугольника.
95. Около окружности описана равнобокая
трапеция, у которой боковая сторона точкой касания делится на отрезки 4 и
9 см. Найдите площадь трапеции.
96. В прямоугольный треугольник, периметр
которого равен 36 см, вписана окружность. Гипотенуза делится точкой
касания в отношении 2:3. Найти длины сторон треугольника. |