Вообще говоря, в данном случае речь
идет не о частных идеях решения определенного класса задач, а об
универсальных методах решения самых разнообразных геометрических
проблем.
Суть метода состоит в том, что для решения
задач вводится система координат (прямоугольная или аффинная), пишутся
необходимые уравнения прямых, других фигур, по известным формулам
находятся длины и углы.
Примеры решения задач
149. Даны точки А(-2; 1); В(1; 5); С(3; -2); D(6; 2). Является ли четырёхугольник ABCD параллелограммом? Ответ: обоснуйте.
Решение. АВ = (3; 4); CD = (3; 4).
Противоположные стороны четырёхугольника, таким образом, равны и
параллельны. Значит, ABCD – параллелограмм.
Ответ: ABCD – параллелограмм.
150. В треугольнике ABC точка М – точка пересечения медиан. Выразите вектор AM через вектора АВ и АС (рис. 205).
Рис. 205.
Решение. Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, поэтому Задачу
можно решить проще, если достроить треугольник ABC до параллелограмма
ABDC, тогда AM = 2/3 АК, но АК = 1/2 AD = 1/2 (АВ + АС). Отсюда сразу
получаем, что AM = 1/3(АВ + АС).
Ответ: 1/3(АВ + АС).
151. В
прямоугольнике ABCD точки М и N – середины сторон АВ и ВС. Точка О –
точка пересечения AN и DM. Найдите AO/ON (рис. 206). (2) Рис. 206.
Решение.
Решим задачу аналитическим путём. Пусть А(0; 0); D (a; 0); B(0; b),
тогда M(0; b/2); N(a/2; b). Напишем уравнения прямых AN и MD. Точка О будет иметь координаты: Ответ: 2:3.
152. ВМ: МС = 3:1, АК = КВ. Найдите: SAKO/SABC (рис. 207). (3) Рис. 207.
Решение.
См. задачу 105 (с. 88). Тогда мы решили её, применив теорему о
пропорциональных отрезках. Здесь мы применим векторный подход и метод
неопределенных коэффициентов.
Пусть ВА = а, ВС = b, АО = х ? AM, КО = у ? КС, тогда АО + ОК = АК, х ? АМ + (-у ? КС) = -1/2а.
Так как AM = AB + ВМ = – ВА + 3/4ВС = – а
+ 3/4b и КС = KB + ВС = -1/2ВА + ВС = -1/2а + b, то с учётом этого
получаем уравнение: хAM + (-уКС) = -1/2а или х(-а + 3/4b) – у(-1/2а
+ b) = -1/2а. Приравнивая к нулю коэффициенты при векторах а и b,
стоящих в левой и правой частях уравнения, получим систему: х = 4/5, у = 3/5;
Итак, значит, Ответ: 3/10.
153. В
выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали АС и BD пересекаются в точке
F. Известно, что AF = CF = 2, BF = 1, DF = 4, ?BFC = ?/3.
Найти косинус угла между векторами АВ и DC (рис. 208).
Рис. 208.
Решение:
Пусть ? – искомый угол между векторами АВ и DC тогда Пользуясь свойствами скалярного произведения векторов и условиями задачи, вычислим АВ, DC и АВ ? DC. Так как Теперь получаем, что Ответ: 13/14.
Задачи для самостоятельного решения
154. Найдите геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой и данной точки.
155. Продолжения сторон AD и ВС
четырёхугольника ABCD пересекаются в точке Р. Точки М и N – середины
сторон АВ и CD. Доказать, что если прямая MN проходит через точку Р, то
ABCD – трапеция.
156. Дан равнобедренный треугольник ABC, в
котором проведены высота CD и перпендикуляр DE к боковой стороне ВС.
Точка M – середина отрезка DE. Доказать, что отрезки АЕ и СМ
перпендикулярны.
157. Доказать, что для треугольника ABC и любой точки Р выполняется неравенство: |