В этот период, который начался около 300 до н.э., характер греческой
математики изменился. Александрийская математика возникла в результате
слияния классической греческой математики с математикой Вавилонии и
Египта. В целом математики александрийского периода были больше склонны к
решению чисто технических задач, чем к философии. Великие
александрийские математики - Эратосфен, Архимед, Гиппарх, Птолемей,
Диофант и Папп - продемонстрировали силу греческого гения в
теоретическом абстрагировании, но столь же охотно применяли свой талант к
решению практических проблем и чисто количественных задач.
Эратосфен
(ок. 275-194 до н.э.) нашел простой метод точного вычисления длины
окружности Земли, ему же принадлежит календарь, в котором каждый
четвертый год имеет на один день больше, чем другие. Астроном Аристарх
(ок. 310-230 до н.э.) написал сочинение О размерах и расстояниях Солнца и
Луны, содержавшее одну из первых попыток определения этих размеров и
расстояний; по своему характеру работа Аристарха была геометрической.
Величайшим
математиком древности был Архимед (ок. 287-212 до н.э.). Ему
принадлежат формулировки многих теорем о площадях и объемах сложных
фигур и тел, вполне строго доказанные им методом исчерпывания. Архимед
всегда стремился получить точные решения и находил верхние и нижние
оценки для иррациональных чисел. Например, работая с правильным
96-угольником, он безукоризненно доказал, что точное значение числа ?
находится между 31/7 и 310/71. Архимед доказал также несколько теорем,
содержавших новые результаты геометрической алгебры. Ему принадлежит
формулировка задачи о рассечении шара плоскостью так, чтобы объемы
сегментов находились между собой в заданном отношении. Архимед решил эту
задачу, отыскав пересечение параболы и равнобочной гиперболы.
Архимед
был величайшим математическим физиком древности. Для доказательства
теорем механики он использовал геометрические соображения. Его сочинение
О плавающих телах заложило основы гидростатики. Согласно легенде,
Архимед открыл носящий его имя закон, согласно которому на тело,
погруженное в воду, действует выталкивающая сила, равная весу
вытесненной им жидкости, во время купания, находясь в ванной, и не в
силах совладать с охватившей его радостью открытия, выбежал обнаженный
на улицу с криком: «Эврика!» («Открыл!»)
Во времена Архимеда уже
не ограничивались геометрическими построениями, осуществимыми только с
помощью циркуля и линейки. Архимед использовал в своих построениях
спираль, а Диоклес (конец 2 в. до н.э.) решил проблему удвоения куба с
помощью введенной им кривой, получившей название циссоиды.В александрийский период арифметика и алгебра рассматривались независимо
от геометрии. Греки классического периода имели логически обоснованную
теорию целых чисел, однако александрийские греки, восприняв вавилонскую и
египетскую арифметику и алгебру, во многом утратили уже наработанные
представления о математической строгости. Живший между 100 до н.э. и 100
н.э. Герон Александрийский трансформировал значительную часть
геометрической алгебры греков в откровенно нестрогие вычислительные
процедуры. Однако, доказывая новые теоремы евклидовой геометрии, он
по-прежнему руководствовался стандартами логической строгости
классического периода.
Первой достаточно объемистой книгой, в которой
арифметика излагалась независимо от геометрии, было Введение в
арифметику Никомаха (ок. 100 н.э.). В истории арифметики ее роль
сравнима с ролью Начал Евклида в истории геометрии. На протяжении более
1000 лет она служила стандартным учебником, поскольку в ней ясно, четко и
всеобъемлюще излагалось учение о целых числах (простых, составных,
взаимно простых, а также о пропорциях). Повторяя многие пифагорейские
утверждения, Введение Никомаха вместе с тем шло дальше, так как Никомах
видел и более общие отношения, хотя и приводил их без доказательства.
Знаменательной
вехой в алгебре александрийских греков стали работы Диофанта (ок. 250).
Одно из главных его достижений связано с введением в алгебру начал
символики. В своих работах Диофант не предлагал общих методов, он имел
дело с конкретными положительными рациональными числами, а не с их
буквенными обозначениями. Он заложил основы т.н. диофантова анализа -
исследования неопределенных уравнений.
Высшим достижением
александрийских математиков стало создание количественной астрономии.
Гиппарху (ок. 161-126 до н.э.) мы обязаны изобретением тригонометрии.
Его метод был основан на теореме, утверждающей, что в подобных
треугольниках отношение длин любых двух сторон одного из них равно
отношению длин двух соответственных сторон другого. В частности,
отношение длины катета, лежащего против острого угла А в прямоугольном
треугольнике, к длине гипотенузы должно быть одним и тем же для всех
прямоугольных треугольников, имеющих один и тот же острый угол А. Это
отношение известно как синус угла А. Отношения длин других сторон
прямоугольного треугольника получили название косинуса и тангенса угла
А. Гиппарх изобрел метод вычисления таких отношений и составил их
таблицы. Располагая этими таблицами и легко измеримыми расстояниями на
поверхности Земли, он смог вычислить длину ее большой окружности и
расстояние до Луны. По его расчетам, радиус Луны составил одну треть
земного радиуса; по современным данным отношение радиусов Луны и Земли
составляет 27/1000. Гиппарх определил продолжительность солнечного года с
ошибкой всего лишь в 61/2 минуты; считается, что именно он ввел широты и
долготы.
Греческая тригонометрия и ее приложения в астрономии
достигли пика своего развития в Альмагесте египтянина Клавдия Птолемея
(умер в 168 н.э.). В Альмагесте была представлена теория движения
небесных тел, господствовавшая вплоть до 16 в., когда ее сменила теория
Коперника. Птолемей стремился построить самую простую математическую
модель, сознавая, что его теория - всего лишь удобное математическое
описание астрономических явлений, согласованное с наблюдениями. Теория
Коперника одержала верх именно потому, что как модель она оказалась
проще.
Упадок Греции. После завоевания Египта римлянами в 31 до
н.э. великая греческая александрийская цивилизация пришла в упадок.
Цицерон с гордостью утверждал, что в отличие от греков римляне не
мечтатели, а потому применяют свои математические знания на практике,
извлекая из них реальную пользу. Однако в развитие самой математики
вклад римлян был незначителен. Римская система счисления основывалась на
громоздких обозначениях чисел. Главной ее особенностью был аддитивный
принцип. Даже вычитательный принцип, например, запись числа 9 в виде IX,
вошел в широкое употребление только после изобретения наборных литер в
15 в. Римские обозначения чисел применялись в некоторых европейских
школах примерно до 1600, а в бухгалтерии и столетием позже.
|
