В категории материалов: 36
Показано материалов: 1-30 |
Страницы: 1 2 » |
Сортировать по:
Дате ·
Названию ·
Рейтингу ·
Комментариям ·
Загрузкам ·
Просмотрам
 Археология и история учат нас, что человек рано
начал считать. Сначала он научился складывать числа, потом, много позже,
умножать и вычитать их. |
Это дает
возможность в прямоугольном треугольнике вычислить длину одной стороны,
если известны две другие. Между прочим, то, что эту теорему назвали в
честь греческого философа Пифагора, не совсем справедливо: она была
известна вавилонянам почти за 2000 лет до Пифагора. |
Этот геометрический образ рассматриваемой операции с
числами является частью богатого наследства, оставленного
древнегреческими мыслителями. Греки предпочитали думать о числах, как о
геометрических величинах: произведение с = аb рассматривалось как площадь с прямоугольника со сторонами a и b. |
Если вы играли в «шафлборд», вы можете вспомнить, что девять квадратов, на которых
вы размещаете свои фишки, занумерованы числами от 1 до
9... |
Если с не является простым, числом, то у него есть наименьший нетривиальный множитель р. Тогда р — простое число, так как если бы р — было составным, то число с имело бы ещё меньший множитель. |
В течение нескольких столетий шла погоня за простыми
числами. Многие математики боролись за честь стать открывателем самого
большого из известных простых чисел.
|
Существует также еще один тип простых чисел с
большой и интересной историей. Они были впервые введены французским
юристом Пьером Ферма, который прославился своими выдающимися
математическими работами. |
Как мы уже говорили, существуют таблицы простых
чисел, простирающиеся до очень больших чисел. Как можно было бы
подступиться к составлению такой таблицы? Эта задача была, в известном
смысле, решена (около 200 г. до н. э.) Эратосфеном, математиком из
Александрии. |
Любое составное число с может быть записано в виде произведения с = ab, причем ни один из делителей не равен 1 и каждый из них меньше, чем с... |
Например, если мы захотим, то можем узнать, какие числа делят число n. Возьмем для примера рассмотренное выше число 3600. Предположим, что число d является одним из его делителей, т. е. |
Существует единственное число n = 1, которое имеет только один делитель. Числами с ровно двумя делителями являются простые числа n = р: они делятся на 1 и на р. Наименьшим числом, имеющим два делителя, является, таким образом, р = 2. |
Нумерология (или гематрия, как ее иногда еще
называют) была распространенным увлечением у древних греков.
Естественным объяснением этому является то, что числа в Древней Греции
изображались буквами греческого алфавита, и поэтому каждому написанному
слову, каждому имени соответствовало некоторое число. |
Дружественные числа также входят в наследство,
доставшееся нам от греческой нумерологии. Если у двух людей имена были
таковы, что их числовые значения удовлетворяли следующему условию... |
В ней рассматриваются понятия, с которыми вы
познакомились в школе, как только научились обращаться с обыкновенными
дробями. Единственным оправданием включения этого материала является
желание освежить его в вашей памяти. |
Итак, два числа могут быть взаимно простыми только
тогда, когда они не имеют общих простых множителей, поэтому условие означает, что числа а и b не имеют общих простых множителей, т. е. все их простые множители различны. |
Вновь вернемся к нашим дробям а/b. Если а > b, то дробь является числом, большим 1, и мы часто разделяем ее на целую часть и правильную дробь, меньшую единицы. |
Вновь вернемся к дробям. Чтобы сложить (или вычесть) две дроби c/a, d/b, мы приводим их к общему знаменателю, а затем складываем (или вычитаем) числители. |
Мы уже упоминали об одной из
древнейших теоретико-числовых задач: найти все прямоугольные
треугольники с целочисленными сторонами, т. е. найти все целочисленные
решения уравнения. |
Чтобы найти простейшие решения уравнения Пифагора, перепишем его в виде x2 = z2 — y2 = (z + y)(z — y). Вспоминая, что х — четное, а у и z — оба нечетные, получаем, что все три числа х, z + y, z — y четные.
|
Мы решили задачу нахождения всех треугольников
Пифагора. Здесь, как почти всегда в математике, решение одной задачи
приводит к постановке ряда других задач. Часто новые вопросы оказываются
значительно более трудными, чем первоначальный. |
«Все есть число» — учили древние пифагорейцы. Однако количество чисел, которыми они пользовались,
ничтожно по сравнению с фантастической пляской цифр, окружающих нас
сегодня в повседневной жизни. |
Известны различные другие системы, которыми
пользовались народы мира, чтобы навести порядок среди чисел. Но почему и
как возникли эти системы? Ответы на эти вопросы большей частью
затерялись в туманном прошлом человечества. |
Американское общество сторонников двенадцатеричной
системы предложило изменить нашу десятеричную систему на более
эффективную и удобную, как они думают, систему с основанием 12. |
Обсудим несколько задач, связанных с системами
счисления, которые имеют отношение к выбору оснований систем счисления,
удобных для машинного счета.
|
До появления электронных вычислительных машин всюду
при вычислениях безраздельно господствовала десятичная система. Интерес к
другим системам носил либо исторический, либо познавательный характер. |
Существует множество видов игр с числами, некоторые
из которых были известны еще в средние века. Большинство из них не
представляет интереса для теории чисел, скорее всего, они подобно
магическим квадратам принадлежат к классу кроссвордов с числами.
|
Теория чисел имеет свою алгебру, известную, как теория сравнений.
Обычная алгебра первоначально развивалась как стенография для операций
арифметики. Аналогично, сравнения представляют собой символический язык
для делимости, основного понятия теории чисел. |
Способ, которым мы записываем сравнения, напоминает
нам уравнения, и в действительности, сравнения и алгебраические
уравнения имеют много общих свойств. Простейшими из них являются три
следующих свойства... |
Из алгебры мы помним, что уравнения можно
складывать, вычитать, умножать. Точно такие же правила справедливы для
сравнений. Предположим, что мы имеем сравнения... |
Предположим вновь, что имеется сравнение a ≡ b (mod m). |
|
