| МАТЕМАТИКА В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ |
|
|
В разделе материалов: 778
Показано материалов: 1-30 |
Страницы: 1 2 3 ... 25 26 » |
 Мировая музыкальная панорама начала XXI века фантастически
разнообразна. Математика, электроника, биты и байты ведут музыку вперед,
к новым рубежам. Была ли музыка менее разнообразной в начале XX века? А
в X веке? А за 1000 лет до Рождества Христова? |
Музыка эфемерна и существует только в нашей памяти. Она
непостижима и неуловима. Именно поэтому музыка обладает магической
аурой, благодаря которой люди испокон веков использовали ее в своих
ритуалах. |
Последователи пифагорейской школы изучали музыку на основе звуков,
издаваемых единственной струной музыкального инструмента, называемого
монохордом. Длина струны монохорда изменялась подобно тому, как гитарист
зажимает струны при игре на современной гитаре. |
Чтобы лучше понять важность открытий, совершенных пифагорейцами,
следует различать абсолютную и относительную высоту звука. Каждая
музыкальная нота задает высоту, в зависимости от которой звук называется
низким или высоким. Высота звука определяется частотой колебаний
соответствующей звуковой волны (мы поговорим об этом позже). |
Перед тем как рассказать об относительной высоте звуков, следует
объяснить понятие интервала. Как вы только что увидели, каждой ноте
соответствует определенная частота, которая отличает эту ноту от других.
Однако пифагорейцы анализировали не отдельные ноты, а отношения между
ними. |
Будем действовать следующим образом: определив частоту одной ноты ре, зададим частоты всех остальных ре путем умножения или деления этой частоты на 2. Выполним аналогичные действия для всех остальных нот. |
Пифагорейский строй основывался на простых отношениях между
различными звуками. В его основе лежали два интервала: октава,
соответствующая отношению между частотами звуков 2:1, и квинта,
соответствующая отношению 3:2. |
Определим частоту каждой ноты с помощью цепочки квинт и сдвига на
одну или несколько октав, то есть путем деления и умножения частоты на
2. Напомним, что отношение между частотами звуков всегда будет принимать
значение между 1 (соотношение частоты одного и того же звука) и 2
(отношение частот нот до соседних октав). |
На одну квинту выше ноты си находится фа-диез, который должен совпадать с соль-бемоль. Но это не один и тот же звук: разница между фа-диез и соль-бемоль называется пифагорейской коммой. |
В результате поисков «чистого» натурального строя появилась новая
система отношения звуков — диатонический строй. В пифагорейском строе
звуки выражаются в виде последовательности квинт. Диатонический строй
имеет более сложную структуру. |
Диатонический строй не миновали проблемы, неизбежно возникающие
из-за несовместимости основных интервалов — октавы, квинты и терции.
Почти для всех квинт соотношение частот звуков равно 3/2, но для квинты ре — ля
оно немного меньше: 40/27. |
Пока что нам не удалось найти музыкальный строй, не содержащий
«ненастроенных» интервалов. Неизбежно возникает вопрос: можно ли создать
такой строй, в котором все соотношения между нотами оставались бы
неизменными вне зависимости от выбора тонального центра? |
Цент — это логарифмическая единица, используемая для точного
измерения интервалов, отношение частот для которых крайне мало. Цент
получается делением полутона на 100 равных (перемножающихся!)
микроинтервалов. Интервал в 1 цент слишком мал, чтобы его можно было
различить на слух. |
Пифагорейцам не были известны дроби в том виде, в котором мы их
используем сейчас. Вместо этого применялось эквивалентное понятие
отношения между целыми числами. Как вы уже увидели, с помощью таких
отношений пифагорейцы описали соотношения длин струн, способных
производить гармоничные звуки: 2:1, 3:2, 4:3, … |
Думаю, что ритм — основная, возможно, важнейшая часть музыки: он
появился раньше, чем мелодия и гармония, и, признаюсь, я испытываю к
нему тайную симпатию. |
— Я Ванни из мастерской господина Филиппо. Мне было
поручено сообщить твоему господину, что сегодня в полдень его будут
ждать у Сан-Джованни. |
Далеко не всегда считалось, что на картине должна
изображаться реальность точно так, как мы ее видим. Напротив, во многих
случаях символьный или повествовательный язык был важнее реалистичного
изображения. |
Следует прояснить, что мы будем понимать под словом
«перспектива» в рамках этой книги. |
В основе математического представления о перспективе
лежит воображаемая пирамида. Ее вершина находится там же, где
располагается глаз художника, который считается единственным и
неподвижным. |
Альберти изложил свой метод в
трактате «О живописи»: «Сначала там, где я должен сделать рисунок, я
черчу четырехугольник с прямыми углами такого размера, какого мне
захочется, и принимаю его за открытое окно, откуда я разглядываю то, что
на нем будет написано, и здесь же я определяю рост человека, нужный мне
для моей картины, и делю рост этого человека на три части, каждую из
которых я для себя принимаю пропорциональной той мере, которая
называется локтем». |
Пьеро делла Франческа использовал метод Альберти в
своей книге «О перспективе в живописи», упростив его. Вместо
вспомогательного рисунка, как советует Альберти, он объединяет
построение продольных и поперечных линий на одном рисунке, как показано
ниже: |
Пьеро делла Франческа также описал метод для
определения положения любой точки квадрата в перспективе. Этот метод,
который известен под названием метода диагоналей, впоследствии изложил
Альбрехт Дюрер в своей книге «Руководство к измерению циркулем и
линейкой». |
В двух изданиях «Руководства к измерению циркулем и
линейкой» Дюрер описал механические устройства, упрощающие рисование в
перспективе. В первом издании от 1525 года упоминаются два
приспособления. |
Мазаччо, следуя пути Джотто в искусстве и используя
метод Брунеллески, первым смог добиться глубины и реалистичности
изображения. Его работы, созданные в период возврата к классическому
искусству и обновления скульптуры, возглавляемого Донателло, отличаются
динамичностью. |
После того как были разработаны математические методы
изображения в перспективе, их вскоре начали использовать многие
художники. Идеи Альберти, изложенные в книге «О живописи»,
распространились по всей Италии. |
В XII веке в Европе начали создаваться университеты,
которые были предназначены для узкого круга культурной элиты. Для
обучения ремесленников, мастерство которых непрерывно росло, и
работников торговли, переживавшей период расцвета, в последние годы
Средних веков также появились так называемые школы абака, которые можно
считать первыми учреждениями профессионального образования. |
Пьеро делла Франческа был не только великим
художником, но и автором нескольких книг по математике: уже упомянутой
«О перспективе в живописи», «Трактата об абаке» и книги по геометрии,
озаглавленной «Книга о пяти правильных телах». |
В «Книге о пяти правильных телах» Пьеро делла
Франческа рассматривает любопытную задачу, в которой нужно определить
объем общей части двух цилиндров равного диаметра, пересекающихся
перпендикулярно друг другу. |
В эпоху Возрождения произошло слияние трех течений,
что упростило изучение многогранников. С одной стороны, с возвратом
интереса к Античности стало уделяться особое внимание этим
геометрическим фигурам, которые рассматривал еще Евклид в «Началах» с
математической точки зрения, а Платон в своих диалогах — с
космологической точки зрения. |
В последней трети кватроченто техника перспективы
использовалась во всех флорентийских художественных мастерских и
распространилась по всей Италии. Однако почти с самого начала возник
парадокс: перспектива, созданная для достоверного изображения
«реальности», стала применяться совершенно иначе — для реалистичного
изображения чего-то несуществующего. |
|
|
| Статистика |
Онлайн всего: 2 Гостей: 2 Пользователей: 0 |
|
