Два перпендикулярных цилиндра равного диаметра в разрезе.

_{(источник: FMC)}

Он пытался определить объем следующей фигуры.

Удвоенный купольный свод.

_{(источник: FMC)}

Пьеро делла Франческа подтвердил, что объем этого тела равен 2/3·d³, где d — диаметр цилиндров. Более того, он посчитал необходимым объяснить, почему объем вычисляется именно по этой формуле. Подобный подход не применялся в других книгах того времени. В доказательстве использовались две следующих фигуры.

На первой иллюстрации изображен квадрат со вписанной в него окружностью, в которую вписан треугольник АВС, где ВС — диаметр окружности. На второй иллюстрации изображен прямоугольник той же высоты, что и квадрат на первом рисунке, и ширины, равной диагонали этого квадрата. В этот прямоугольник вписан эллипс, в него, в свою очередь, — треугольник KLM, где LM — большая ось эллипса. Далее Пьеро делла Франческа установил следующее соотношение:

Затем он перешел к следующим объемным фигурам.

Удвоенный купольный свод и вписанная в него пирамида.

_{(источник: FMC)}

Сфера, вписанная в удвоенный купольный свод, и конус, вписанный в сферу.

_{(источник: FMC)}

Далее без дополнительных объяснений он приводит следующее соотношение, полученное тем же способом, что и в случае с плоскими фигурами:

После этого он выражает объем удвоенного свода V:

Это равносильно

Иными словами,

А так как

Пьеро делла Франческа нашел верное решение, что можно доказать с помощью интегрального исчисления.

Вычисление объема удвоенного свода с помощью интегралов.

_{(источник: FMC)}

Если мы рассечем фигуру плоскостью р, параллельной ее экватору, и обозначим за х расстояние от этой плоскости до центра фигуры, по теореме Пифагора получим

y = √(r² — x²)

Следовательно, площадь сечения фигуры плоскостью р, которое представляет собой квадрат со стороной 2у (выделен серым цветом), равна

А(х) = 4(r²  — х²).

Объем фигуры будет равен

Задачу о нахождении объема общей части двух перпендикулярных цилиндров равного диаметра рассматривал Архимед в своем «Методе». Однако этот труд, утерянный во времена Античности, был обнаружен лишь в 1906 году на палимпсесте — древней рукописи с текстами религиозных песнопений, где сохранились следы более раннего текста, принадлежавшего Архимеду. Нет никаких доказательств тому, что этот труд Архимеда был известен во времена Пьеро делла Франческа, поэтому неизвестно, на какие источники он опирался в своих вычислениях.

Поэтому Пьеро делла Франческа можно считать математиком первой величины, обладавшим великолепным пространственным и геометрическим мышлением. Его идеи в области математики и искусства, выраженные в его книгах, и видение пространства и фигур, которое мы можем наблюдать на его картинах, отразили дух той удивительной эпохи конца кватроченто, когда искусство и математика шествовали рука об руку.