В категории материалов: 43
Показано материалов: 1-30 |
Страницы: 1 2 » |
Сортировать по:
Дате ·
Названию ·
Рейтингу ·
Комментариям ·
Загрузкам ·
Просмотрам
 Французский
писатель Альфонс Алле (1854–1905) говорил: «Бесконечность велика,
особенно ближе к концу», тем самым не без доли юмора показав, что мы не
можем воспринимать бесконечность как таковую и всегда представляем ее в
сравнении с чем-либо. |
 Известен
анекдот о некоем преподавателе математики, которому нужно было в первый
раз объяснить студентам, что такое бесконечность. Он взял коробку с
мелками, достал один и начал рисовать прямую на доске. |
По
определению из словаря, «бесконечность» обозначает нечто чрезмерно
великое, необычайно большое или продолжительное. Однако мы часто
используем это слово, говоря «бесконечное пространство», «бесконечно
много раз», «бесконечное время», «бесконечное терпение». |
Проведем
небольшой мысленный эксперимент. Предположим, что у нас есть мяч,
который обладает следующими свойствами: всякий раз, когда он падает на
пол, он отскакивает на высоту, в два раза меньшую, чем высота, с которой
он упал. |
Первые
рассуждения или размышления о бесконечности, как и о других важнейших
понятиях философии, берут начало в древнегреческой культуре. Как
известно, одной из многих заслуг греческих философов было создание
собственного философского языка. |
Предположим,
что мы проводим на полу прямую линию так, что если мы сделаем шаг
вперед, то перешагнем ее. Это потенциально возможное действие. Совершив
его и оказавшись по другую сторону линии, мы сделали этот потенциал
актуальным. |
Мы
знакомимся с потенциальной бесконечностью уже в первые годы обучения в
школе. Бесконечность связана с понятием счета и, следовательно, с
натуральным рядом, а также с циклическими процессами, связанными с
течением времени: за днем следует ночь, за ночью — день и т. д. |
В великих культурах Античности, особенно древнегреческой, числам
придавалось метафизическое значение. Видение мира было неразрывно
связано с применявшейся системой счисления. |
Толковый
словарь русского языка дает слову «дискретный» такое определение:
«прерывистый, дробный, состоящий из отдельных частей», что схоже с
определением дискретной величины в математике: «величина, принимающая
конечное число отдельных значений, например число деревьев в лесу, число
солдат в армии и пр.» |
Говорят,
что важнейшее различие между наукой и технологией состоит в том, что
первая меняет наше видение мира, вторая — наш образ жизни в этом мире.
Можно утверждать, что изобретение механических часов стало одним из
ключевых моментов в истории человечества и оказало наибольшее влияние на
жизнь людей. |
Дискретное
состоит из элементов, отдельных единиц. А непрерывное? Кажется логичным
считать, что непрерывное не может иметь подобной структуры, так как
единичные элементы можно разделить, а между двумя соприкасающимися
элементами не может находиться ничего — если бы там что-то находилось,
его также можно было бы разделить на части. |
Задачам
на построение с помощью циркуля и линейки, известным с античных времен,
в Древней Греции уделялось большое внимание. Разнообразие этих задач
очень велико — они могут быть очень простыми, очень сложными, а порой и
вовсе не имеющими решения. Наиболее известны из них задачи о трисекции
угла, удвоении куба и квадратуре круга — сложность последней вошла в
поговорку. |
Без
чисел 1, 2, 3, …» которые мы обычно используем при счете, во время
измерений не обойтись. Если мы возьмем, например, сравнительно ровный
кусок дерева и нанесем на него метки, соответствующие каждому числу так,
что они будут находиться на равном расстоянии друг от друга, то сможем
измерять расстояния. |
Рассмотрим,
как можно увязать между собой нечто бесконечно большое (бесконечное
продолжение прямой) и бесконечно малое (деление на бесконечно много
частей). Допустим, что даны две параллельные прямые r и r'. |
Когда
говорят о Возрождении, мы сразу представляем себе многочисленные
произведения живописи, скульптуры, архитектуры, новые технологии, но
практически ничего, что имело бы отношение к математике. |
Кто-нибудь
хоть раз видел две параллельные прямые? Можно с уверенностью сказать:
«Нет». На этот вопрос очень просто ответить, особенно если ему
предшествует вопрос, на который также можно ответить категорическим нет:
«Кто-нибудь хоть раз видел прямую?» Ее никто никогда не видел, так как
прямая бесконечна. |
Понятие
бесконечной делимости тесно связано с понятием непрерывности. Этот
вопрос достаточно сложен и необычен. В прошлой главе вы увидели, что
означает непрерывное как противоположность дискретному. |
Термин
«квадратура» означает построение квадрата, равного по площади данной
фигуре. Задача о вычислении площадей всегда была одной из самых
популярных задач прикладной математики. |
Евдокс
(ок. 408–355 гг. до н. э.) наряду с Архимедом (ок. 287–212 гг. до
н. э.), Пифагором (570–500 гг. до н. э.) и Евклидом (ок. 325–265 гг. до
н. э.) был одним из важнейших представителей греческой математики. В
области концептуальной математики он, вне всяких сомнений, намного
превосходил всех остальных. |
Кеплер
был одним из первых математиков Возрождения, который занялся
вычислением объемов, причем не совсем в обычных обстоятельствах: впервые
он обратил внимание на эту задачу в тот самый день, когда сочетался
вторым браком с Сюзанной Рейтингер (его первая жена скончалась годом
ранее). |
Галилео
Галилей (1564–1642) совершил революцию во многих областях науки. Мы не
будем рассказывать ни о его творчестве, ни о том, какое влияние оно
оказало на науку в целом, — рассмотрим вкратце его размышления о
бесконечности. |
Бонавентура
Кавальери (1598–1647), иезуит и преподаватель математики в Болонье, был
одним из учеников Галилея и больше всего интересовался вычислениями
площадей и объемов. В 1635 году он опубликовал трактат на эту тему,
озаглавленный «Геометрия, развитая новым способом при помощи неделимых
непрерывного». |
Рене
Декарт (1596–1650) является основателем и главным представителем
рационализма. Наиболее важной его работой было «Рассуждение о методе», а
ключевой фразой — «Я мыслю, следовательно, я существую», которая, по
его мнению, была единственно возможной отправной точкой на пути
преодоления сомнений. |
Почему
он называется анализом и какое отношение к нему имеют бесконечно малые?
Понятие «анализ» указывает, что в математическом анализе решение задачи
рассматривается как рабочая гипотеза, после чего проводится анализ
того, каким образом стало возможным прийти к этому решению. |
Исаак
Ньютон (1643–1727), который считается скорее физиком, чем математиком,
внес чрезвычайно важный вклад в создание математического анализа. Он
разработал оригинальную систему решения задач о квадратурах и о
спрямлении кривых. |
Первые
математические труды Готфрида Лейбница (1646–1716) были посвящены
комбинаторике. В них уже проявилась гениальность ученого, однако они
были устаревшими и имели определенные черты, характерные для
средневековой науки, которой в немецких университетах той эпохи
уделялось большое внимание. |
Когда
говорят об эпсилонах или о языке эпсилон-дельта, речь идет вовсе не о
секретных кодах Министерства обороны, а о сложном математическом
аппарате, который напрямую связан с понятием предела. |
Жан-Батист
Жозеф Фурье (1768–1830) был математиком-провидцем, он вошел в число
пионеров нового раздела математики — математического анализа, и создал
одну из наиболее широко используемых теорий в истории прикладной
математики. |
Кантор
разрабатывал свою теорию вещественных чисел в два этапа. В 1872 году в
работе «О расширении теоремы, относящейся к теории тригонометрических
рядов» он сформулировал задачу о существовании иррациональных чисел, но
ему не удалось разработать полную и согласованную теорию. |
Прямая
— это бесконечное множество точек, расположенных на линии. Кантор,
работая над определением вещественной прямой, следовал путем, который мы
уже описали в предыдущих главах: он обозначил начало отсчета и выбрал
единицу измерения. |
|
