В великих культурах Античности, особенно древнегреческой, числам придавалось метафизическое значение. Видение мира было неразрывно связано с применявшейся системой счисления. В контексте нашего обсуждения под числами мы обычно будем понимать натуральный ряд 1,2,3, …, поскольку дроби в древности считались не числами в современном смысле слова, а лишь отношениями между величинами или отношениями подобия между геометрическими фигурами. Здесь необходимо прояснить один аспект, напрямую связанный с бесконечностью: если все сущее можно выразить с помощью чисел, их должно быть достаточно много, чтобы ими можно было обозначить все, что нам уже известно и что еще предстоит узнать.

В этом смысле последовательность натуральных чисел нас полностью устраивает, так как ее можно продолжать бесконечно. Тем не менее последовательность дробных чисел обладает свойством, которое отсутствует у целых чисел и к которому древнегреческие математики относились с долей недоверия, а именно плотностью.

Между двумя последовательными целыми числами не существует никаких других целых чисел. Например, между 6 и 7 «не поместится» никакое другое натуральное число, которое должно быть больше 6 и меньше 7. Однако если мы добавим к множеству натуральных чисел дробные числа, это правило перестанет выполняться. Так, число

будет находиться между 6 и 7.

Аналогичным образом можно найти число, расположенное между любыми другими двумя числами. Если даны два числа А и В, то обязательно будет выполняться соотношение

Однако для этого необходимо, чтобы последовательность чисел, с которой мы работаем, содержала дробные, или рациональные, числа.

Так как описанные выше действия можно повторять бесконечно, можно утверждать, что между двумя любыми рациональными числами всегда будет располагаться бесконечно много других рациональных чисел. Именно в этом и заключается свойство плотности, о котором мы говорим. Плотность делает бессмысленным понятие «следующего» числа. Говоря о множестве натуральных чисел, можно смело утверждать, что за числом 12 следует 13, однако на множестве рациональных чисел говорить о числе, следующем за N, не имеет смысла: если таким числом является М, то всегда существует число

идущее перед М.

Плотность отражает понятие бесконечности с непривычной стороны. Приведем пример из геометрии. Когда мы представляем себе прямую, мы считаем, что она продолжается бесконечно с обоих концов. В нашем представлении эта прямая бесконечно велика. Аналогом дробных чисел из предыдущего примера будут точки на отрезке прямой: между двумя точками всегда находится третья, и число точек отрезка также бесконечно велико.