Понедельник, 18.01.2021, 11:10
Ш  К  О  Л  А     П  И  Ф  А  Г  О  Р  А
      Предмет математики настолько серьезен, что нужно
не упускать случая, сделать его немного занимательным".
                                                                           Блез Паскаль
Главная | Регистрация | Вход Приветствую Вас Гость | RSS
ПАМЯТКИ ПО МАТЕМАТИКЕ   ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ   ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ   МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
УРОКИ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛЕ


МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КЛАДОВАЯ


В МИРЕ ЗАДАЧ
ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
МАТЕМАТИКА В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ
ВАРИ, КОТЕЛОК!
УДИВИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
В МИРЕ ИНТЕРЕСНОГО
Категории раздела
ПРОСТЫЕ ЧИСЛА. ДОЛГАЯ ДОРОГА К БЕСКОНЕЧНОСТИ [37]
КОГДА ПРЯМЫЕ ИСКРИВЛЯЮТСЯ. НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ [23]
МУЗЫКА СФЕР. АСТРОНОМИЯ И МАТЕМАТИКА [57]
МАГИЯ ЧИСЕЛ. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МЫСЛЬ ОТ ПИФАГОРА ДО НАШИХ ДНЕЙ [27]
ИНВЕРСИЯ [20]
ИСТИНА В ПРЕДЕЛЕ. АНАЛИЗ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ [47]
БЕСКОНЕЧНОСТЬ В МАТЕМАТИКЕ [43]
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ЕЕ ПАРАДОКСЫ [6]
ИЗМЕРЕНИЕ МИРА. КАЛЕНДАРИ, МЕРЫ ДЛИНЫ И МАТЕМАТИКА [33]
АБСОЛЮТНАЯ ТОЧНОСТЬ И ДРУГИЕ ИЛЛЮЗИИ. СЕКРЕТЫ СТАТИСТИКИ [31]
КОДИРОВАНИЕ И КРИПТОГРАФИЯ [47]
МАТЕМАТИКА В ЭКОНОМИКЕ [39]
ИСКУССТВЕННЫЙ ИНТЕЛЛЕКТ И МАТЕМАТИКА [35]
ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ. ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ НАШ МИР ТЕНЬЮ ДРУГОЙ ВСЕЛЕННОЙ? [9]
ТВОРЧЕСТВО В МАТЕМАТИКЕ [44]
ЗАГАДКА ФЕРМА. ТРЕХВЕКОВОЙ ВЫЗОВ МАТЕМАТИКЕ [30]
ТАЙНАЯ ЖИЗНЬ ЧИСЕЛ. ЛЮБОПЫТНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ [95]
АЛГОРИТМЫ И ВЫЧИСЛЕНИЯ [17]
КАРТОГРАФИЯ И МАТЕМАТИКА [38]
ПОЭЗИЯ ЧИСЕЛ. ПРЕКРАСНОЕ И МАТЕМАТИКА [23]
ТЕОРИЯ ГРАФОВ [33]
НАУКА О ПЕРСПЕКТИВЕ [29]
ЧИСЛА - ОСНОВА ГАРМОНИИ. МУЗЫКА И МАТЕМАТИКА [15]
Статистика

Онлайн всего: 10
Гостей: 10
Пользователей: 0
Форма входа

Главная » Файлы » МИР МАТЕМАТИКИ » БЕСКОНЕЧНОСТЬ В МАТЕМАТИКЕ

Фундаментальные последовательности
27.05.2015, 22:48

Кантор разрабатывал свою теорию вещественных чисел в два этапа. В 1872 году в работе «О расширении теоремы, относящейся к теории тригонометрических рядов» он сформулировал задачу о существовании иррациональных чисел, но ему не удалось разработать полную и согласованную теорию. Четкое математическое определение вещественным числам ученый дал значительно позже, в своих «Основаниях общей теории множеств». По словам самого Кантора, он пришел к этому определению после глубоких философских размышлений о бесконечности и непрерывности. Математику были знакомы работы Коши и Вейерштрасса, и он знал, что на множестве рациональных чисел 

Q
существовали последовательности, не сходившиеся ни к какому рациональному числу. Речь шла о последовательностях, определенных Коши, элементы которых группировались друг вокруг друга, но не в окрестности какого-либо рационального числа. В главе 2 мы уже приводили пример бесконечного ряда, сходящегося к числу, которое не является рациональным — √2.

Мы также говорили, что элементы этих последовательностей могут располагаться сколь угодно близко друг к другу. Кантор назвал такие последовательности фундаментальными (в настоящее время они также называются последовательностями Коши).

Кантор чувствовал, что фундаментальные последовательности должны сходиться к иррациональному числу, и взял это за основу определения иррационального числа. Если продолжать аналогию, которую мы использовали в предыдущих главах, Кантор заметил скопления машин на автомагистрали и предположил, что причиной этому являются пункты оплаты — иными словами, существуют точки, в которых скапливаются определенные числовые последовательности и отсутствуют рациональные числа (это те самые промежутки на числовой прямой, о которых мы говорили выше). В таких точках должны находиться иррациональные числа, например √2, √3, √5 или даже π. Проблема заключалась в том, что иррациональным числам нужно было дать строгое определение на языке математики.

Существуют определенные свойства, которыми должны обладать множества чисел, чтобы образовывать согласованную систему, или, иными словами, чтобы их действительно можно было использовать и определить на них элементарные операции. Первое из этих свойств состоит в том, что эти множества должны быть замкнутыми относительно операций сложения, вычитания, умножения и деления. Иными словами, при сложении двух целых чисел мы ожидаем, что результат также будет целым числом. Второе свойство — упорядоченность: для двух любых данных чисел можно однозначно указать, что они равны или что одно из них больше другого. Третье свойство — плотность, оно более сложное, и им обладают не все множества чисел. Свойство плотности означает, что между двумя произвольными числами всегда находится третье, но этот принцип, как вы уже видели, не выполняется ни для натуральных, ни для целых чисел. Например, между 5 и 6 нет никакого другого целого числа. Как известно, плотность характерна для рациональных чисел, но Кантор знал, что новое множество иррациональных чисел, которое он хотел определить с помощью фундаментальных последовательностей, тоже должно обладать этим свойством. Он понимал, что числа, которым он пытался дать определение, были расширением рациональных чисел, и, что вполне логично, предполагал, что свойства рациональных чисел естественным образом будут распространяться и на иррациональные. Однако доказать свою догадку ему не удалось. Кроме того, возникла еще одна проблема — различные фундаментальные последовательности могли сходиться к одному и тому же иррациональному числу. Эти и другие препятствия были преодолены с введением понятий отношения эквивалентности и фактор-множества, с помощью которых множества чисел определяются сейчас.

Заострим внимание на том, что Кантор свободно использовал понятие актуальной бесконечности в определении столь конкретного явления, как число, которое, по сути, является не чем иным, как пределом бесконечной числовой последовательности. В своих первых работах он также не использовал понятие предела. Более того, он говорил не о числах, а о числовых величинах. Кантор осознавал, что ступает на зыбкую почву, поскольку при рассмотрении понятий бесконечности и непрерывности следует вооружиться логическими и математическими инструментами, а их у него не было, и Кантору ничего не оставалось, кроме как создать эти инструменты самому.

Расширив множество рациональных чисел

Q
, Кантор перешел к новому множеству
R
, которое назвал множеством вещественных чисел. Некоторые считают, что выбор этого названия был продиктован существованием мнимых чисел, о которых в то время было уже известно, однако есть основания полагать, что Кантором двигали иные причины. В «Основаниях общей теории множеств» он использует понятие предела и отказывается от понятий числовой величины, называя введенное им множество множеством вещественных чисел. Это очень важная деталь: она указывает, что Кантор был готов принять актуальную бесконечность не как спекуляцию, а как реальный математический объект — столь же реальный, как целые или дробные числа.
Категория: БЕСКОНЕЧНОСТЬ В МАТЕМАТИКЕ | Добавил: admin | Теги: Мир Математики, бесконечность в математике, занимательная математика, непрерывность, дидактический материал по математик, популярная математика
Просмотров: 544 | Загрузок: 0 | Рейтинг: 0.0/0
УЧИТЕЛЮ ИНФОРМАТИКИ
КОНСПЕКТЫ УРОКОВ
ВНЕКЛАССНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ПОСОБИЯ И МЕТОДИЧКИ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ЗАДАНИЯ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ


ИНФОРМАТИКА В ШКОЛЕ


ИНФОРМАТИКА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ
ИНФОРМАТИКА В 3 КЛАССЕ
ИНФОРМАТИКА В 4 КЛАССЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 3 КЛАСС
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 4 КЛАСС
ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДЛЯ ДЕТЕЙ
СКАЗКА "ПРИКЛЮЧЕНИЯ ЭЛЕКТРОШИ"
ИГРОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ НА УРОКАХ ИНФОРМАТИКИ
ИГРОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ВИКТОРИНЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ
КОМПЬЮТЕРНЫЕ ЧАСТУШКИ
ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ
Поиск


Друзья сайта
  • Создать сайт
  • Все для веб-мастера
  • Программы для всех
  • Мир развлечений
  • Лучшие сайты Рунета
  • Кулинарные рецепты

  • Copyright MyCorp © 2021
    Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru