Исаак
Ньютон (1643–1727), который считается скорее физиком, чем математиком,
внес чрезвычайно важный вклад в создание математического анализа. Он
разработал оригинальную систему решения задач о квадратурах и о
спрямлении кривых. Для этого он использовал бесконечные ряды —
выражения, которые определяются уравнением, первый член которого
содержит изучаемую функцию, а второй — бесконечную сумму функций,
имеющих схожее поведение. Например, первым членом следующего уравнения
является логарифмическая функция, вторым — сумма бесконечного числа
степенных функций, поведение которых известно: * * * ТАИНСТВЕННАЯ НАУКА «Математические
начала натуральной философии» Ньютона всегда считались непростыми для
понимания — это неудивительно, если учесть, что Ньютон умышленно
усложнил свою работу. Как-то
раз он признался другу, что поступил так, чтобы «избежать атак со
стороны шарлатанов от математики»: предыдущие работы Ньютона,
посвященные природе света, уже подвергались ожесточенной и не всегда
оправданной критике. Некоторые из полученных результатов Ньютон и вовсе
записал шифром. Следующая последовательность букв и цифр 6а сс d ае 13eff7i 31 9n4о 4q rr 4s 9t 12vx отнюдь
не сложный ключ или числа из компьютерной программы. Это так называемый
логогриф — способ шифрования, который Ньютон использовал для описания
своего метода анализа флюксий, чтобы Лейбниц не смог прочитать его
записи и приписать их авторство себе. Говорят, что последнему
понадобилось бы потратить на расшифровку так много сил, что быстрее было
бы самостоятельно прийти к аналогичным результатам. * * * Исаак Ньютон на портрете Гэтфрида Кнеллера. Суть
метода Ньютона заключается в том, что с увеличением числа слагаемых
второго члена уравнения мы все больше и больше приближаемся к истинному
значению функции. Если мы хотим всего лишь произвести вычисления,
достаточно знать желаемую величину ошибки, но если необходимо
проанализировать логарифмическую функцию и изучить ее поведение, нужно,
пусть и неявно, признать существование актуальной бесконечности как
суммы ряда. Единственный комментарий Ньютона на эту тему содержится в
его работе «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов»:
«…Действительно, рассуждения в нем не менее достоверны и уравнения не
менее точны, хотя мы, люди конечного ума, и не в состоянии ни
обозначить, ни воспринять все члены этих уравнений так, чтобы точно
узнать из них искомые величины». Здесь мы снова видим прагматичный
подход Ньютона: ученый говорит, что наши способности воспринять
актуальную бесконечность ограничены, но он признает ее существование как
результат рассматриваемых уравнений с бесконечным числом членов. Во
втором издании своей работы «Метод флюксий и бесконечных рядов с
приложением его к геометрии кривых», вышедшем в 1736 году (сама работа
датирована 1672 годом), Ньютон использует так называемый метод флюксий.
Этот метод предполагал интересный переход: Ньютон перестал рассматривать
бесконечно малые как нечто статическое и наделил их способностью
двигаться. Он рассматривал переменную как непрерывно движущуюся точку
(этим же свойством он наделил прямые и плоскости) и назвал флюентами
переменные, обладающие этими свойствами, а флюксией — результат такого
движения, то есть сравнение двух различных состояний такой точки. Мы не
будем подробно описывать метод флюксий Ньютона и лишь повторим, что
Ньютон не считал необходимым использовать в своих вычислениях бесконечно
малые величины, так как это могло привести к различным противоречиям. Он
рассматривает эти величины «…не как состоящие из небольших частей, но
как описывающие непрерывное движение. Линии описываются и,
следовательно, создаются не наложением точек, а непрерывным движением
точек». С
помощью метода флюксий Ньютону удалось найти касательные к кривым,
площади подграфиков, длины кривых, а также максимумы и минимумы функций и
точки перегиба для различных кривых. Ему удалось сделать это, избежав
проблем, связанных с использованием бесконечно малых величин, однако за
это ему пришлось заплатить свою цену. Анализ, построенный на этих
предпосылках, имел важные ограничения и открыл путь к другим разделам
математики, где властвовали дифференциалы — странные бесконечно малые
математические объекты, неразрывно связанные с актуальной
бесконечностью. Метод флюксий изложен во французском издании книги Ньютона, вышедшем в 1740 году.
|