Дискретное
состоит из элементов, отдельных единиц. А непрерывное? Кажется логичным
считать, что непрерывное не может иметь подобной структуры, так как
единичные элементы можно разделить, а между двумя соприкасающимися
элементами не может находиться ничего — если бы там что-то находилось,
его также можно было бы разделить на части. Если мы поразмыслим над этим
хотя бы немного, то увидим, что понятие бесконечно малой величины
вплотную подводит нас к понятию непрерывности. Размышления о природе
непрерывного занимали важное место в греческой философии, одним из самых
заметных представителей которой был Зенон. В своих известных парадоксах
он продемонстрировал непрочность любой теории, в которой использовались
бесконечно большие или бесконечно малые величины. Главной
целью рассуждений Зенона было подтвердить правильность теорий Парменида
(предполагается, что он был учителем Зенона), который утверждал, что
все сущее является неделимым как в пространстве, так и во времени. Кроме
того, Зенон также хотел поспорить с пифагорейцами, считавшими
порождением всего сущего «непрерывный поток». Следствием
невозможности разделить время на промежутки стала невозможность
движения, которое понималось как последовательность участков
пространства, которые занимал объект в течение некоторого периода
времени. Идея Зенона заключалась в следующем: если принять верной
гипотезу, противоположную гипотезе Парменида, мы получим противоречие
столь абсурдное, что оно будет абсолютно неприемлемо с позиций здравого
смысла. Этот логический метод называется доведением до абсурда, и Зенон
был если не создателем, то по меньшей мере одним из первых, кто широко
использовал его. Суть
метода заключается в следующем: предполагается, что определенная
гипотеза верна, и на ее основе делается ряд логических умозаключений,
которые ведут к очевидно ложному результату, на основании чего делается
вывод о ложности исходной гипотезы. В терминах логики в основе этого
метода лежат следующие соотношения: И И Л Л Л И, где И = ИСТИНА, Л = ЛОЖЬ, — логическая связка, означающая «если… то». Иными словами, И
И означает, что из истинного утверждения следует другое истинное
утверждение, таким образом, истинная предпосылка никогда не может вести к
ложному следствию. Если же вывод ложный, то исходное положение неверно.
С помощью этих логических умозаключений, лежащих в основе метода
доведения до абсурда, можно было доказать ложность некоторого
утверждения, что и делал Зенон в своих парадоксах. Пифагорейцы
считали, что реальность состоит из точек: точки образуют прямые, прямые
— поверхности, поверхности — трехмерные тела. Зенон не принимал этого
мнения, указывая, что поскольку точки не имеют размеров, то все
составленное из них также не может иметь размеров, то есть не может
существовать. Кроме того, все составленное из точек можно разделить на
части бесконечное число раз, что ведет к множеству абсурдных ситуаций. * * *
ПАРАДОКСАЛЬНЫЙ ОБРАЗ МЫШЛЕНИЯ
Парадокс
— это особая форма аргументации. Его суть заключается в том, что
некоторое утверждение принимается в качестве исходного, после чего путем
корректных логических рассуждений из него выводится противоречащий
здравому смыслу результат, тем самым правильность исходного утверждения
ставится под сомнение. Логические парадоксы, впервые появившиеся в
элейской школе, основывались на логических высказываниях, которые могли
быть как истинными, так и ложными. Один из популярнейших парадоксов
древности — так называемый «парадокс лжеца», изложенный Эпименидом
Критским. Этот парадокс гласит: «Все критяне — лжецы».
Эпименид
не может говорить правду, так как он критянин, но в то же время если он
лжет, его высказывание будет верным, и в результате возникает
противоречие.
* * * Парадоксы
имеют безупречную логическую структуру. Они являются темой для
размышлений и в наши дни и допускают множество толкований, играя
ключевую роль во всестороннем понимании проблемы бесконечности.
Изначально считалось, что Зенон создал более сорока парадоксов,
посвященных этой теме, но из всех дошедших до наших дней наиболее
известны четыре: дихотомия, парадокс Ахиллеса и черепахи, парадокс
стрелы и парадокс «стадиона», которые мы подробно рассмотрим ниже. Дихотомия Этот
парадокс напрямую связан с понятием движения и показывает его
невозможность: телу, которому нужно пройти расстояние между точками А и В,
сначала необходимо переместиться на половину этого расстояния, затем —
половину оставшейся половины и т. д. Это бесконечное число расстояний,
которое должно преодолеть тело, нельзя пройти за конечное время.
Следовательно, движение невозможно. Ахиллес и черепаха Легконогий
Ахиллес считался самым быстрым из людей, в противоположность черепахе. В
этом парадоксе описывается гонка между ним и черепахой. Если они
стартуют одновременно, то Ахиллес очевидно придет к финишу первым. Все
изменится, если дать черепахе небольшое преимущество, сколь бы мало оно
ни было. В этих условиях Ахиллесу сначала нужно будет достичь точки, в
которой изначально находилась черепаха. Но когда он достигнет этой
точки, черепаха уже отойдет на некоторое расстояние. Ахиллесу снова
придется пробежать расстояние, отделяющее его от черепахи. Однако за то
время, пока он будет бежать, черепаха отойдет еще дальше, и Ахиллес
по-прежнему не сможет догнать ее. Так как этот процесс повторяется
бесконечно, он никогда не догонит черепаху. Может
показаться, что оба парадокса если не аналогичны, то очень похожи,
однако между ними существует небольшая разница: в первом случае
пространство делится на две равные части, а в парадоксе об Ахиллесе и
черепахе — на все более мелкие части. Стрела Этот
парадокс — самый неоднозначный из четырех. Историки указывают, что
исходный текст дошел до нас не полностью и его пришлось восстанавливать.
Суть парадокса такова: когда мы выпускаем стрелу, нам кажется, что она
удаляется от нас, но в действительности она не движется, так как стрела,
как и всякий другой объект, занимает пространство, равное самой себе,
но для этого она должна находиться в покое. Если время состоит из
неделимых мгновений, стрела не может занимать два или более места в
пространстве одновременно. Если
в двух первых парадоксах речь идет о невозможности бесконечного деления
пространства, то этот парадокс посвящен неделимости времени, в
частности существованию того, что мы называем «мгновение», так как если
оно неделимо, оно не имеет длительности, и, следовательно, движение
невозможно. Мгновение, понимаемое таким образом, подобно точке в
геометрии. Стадион Допустим, что время — дискретная величина, и его основной единицей является произвольная сколь угодно малая величина t. Это означает, что не существует единицы времени, меньшей t,
которая, следовательно, является неделимой. Можно представить часы, где
каждому звуку «тик» или «так» соответствует эта неделимая единица
времени. Рассмотрим четыре равных тела А1, A2, А3, и А4 которые находятся в состоянии покоя (в исходной формулировке парадокса речь идет о шеренге из четырех солдат):
и четыре других тела B1, B2, B3, и А4, точно соответствующие предыдущим четырем, движущиеся вправо:
Они движутся так, что в каждый момент времени одно из тел В находится напротив одного из тел А:
Рассмотрим теперь третий ряд тел C1, C2, C3, и C4,
также равных предыдущим, которые движутся влево так, что в каждый
момент времени каждое из них находится напротив одного из тел А:
Парадокс возникает, когда мы одновременно рассматриваем оба движения: для тел В и для тел С. Если исходное положение тел таково, как представлено на рисунке:
то в следующий момент времени («тик» часов) тела будут расположены так:
Но это означает, что C1 сместилось на расстояние, равное величине двух тел В.
Следовательно, выбранную нами единицу времени можно разделить пополам,
что противоречит исходному утверждению о ее неделимости. Аристотель
обрушился на этот парадокс с критикой, показав, что Зенон считал
одинаковыми тела в состоянии покоя и тела в движении. Если скорость
движущегося тела неизменна, то скорость, с которой оно движется
относительно другого, находящегося в состоянии покоя, нельзя считать
равной скорости, с которой тело движется относительно другого
движущегося тела. Однако возражение Аристотеля тривиально, сложно
поверить, чтобы Зенон упустил его из вида. В
других трактовках считается, что этот парадокс, подобно предыдущим,
посвящен делению времени и пространства на бесконечное число частей.
Таким образом, чтобы одно тело могло пройти мимо другого, движущегося
тела, сначала оно должно пройти расстояние, равное половине длины этого
тела, находящегося в состоянии покоя, и т. д. В
любом случае кажется достаточно правдоподобным, что Зенон вновь хотел
поспорить с пифагорейцами, указав на противоречие, касающееся
неделимости геометрических фигур. * * *
ЗЕНОН. ЗАБЫТЫЙ ГЕНИЙ
Зенон Элейский
(ок. 490–425 гг. до н. э.) был древнегреческим философом и принадлежал к
элейской школе, основанной Парменидом. Основным источником знаний о
Зеноне является диалог Платона «Парменид». Можно утверждать, что он
принадлежал к философскому течению, которое называется монизмом. В
монизме считается, что все сущее неизменно и никакие изменения
невозможны. По мнению некоторых философов, Зенон не получил того
признания, которого заслуживал. Бертран Расселл отчасти исправил
ситуацию, сказав: «В этом капризном мире нет ничего более капризного,
чем посмертная слава. Одним из тех, кто больше всего пострадал от
несправедливости потомков, был Зенон Элейский. Он сформулировал четыре
неизмеримо тонких и глубоких аргумента, но невежественные философы
последующих времен сочли его лишь искусным престидижитатором, а его
аргументы — простыми софизмами. После двух тысяч лет забвения этим
софизмам вновь было уделено внимание, и они стали основой возрождения
математики…» («Начала математики», книга 1,1903)
На этой фреске из Королевской библиотеки монастыря Эскориал изображен Зенон Элейский, показывающий ученикам врата Истины (Veritas) и Лжи (Falsitas). * * * Критика
Аристотеля в отношении первого парадокса позволила заложить основы
очень важного понятия, касающегося бесконечности, и, по мнению многих
авторов, является важнейшим вкладом в изучение бесконечности. Во-первых,
обратите внимание, что слово «бесконечность» допускает две трактовки:
как нечто бесконечно протяженное и как нечто бесконечно делимое. В
первом парадоксе смешиваются обе трактовки, так как согласно ему
ограниченное пространство, которое делится на бесконечное множество
частей, не может быть пройдено за конечное время. Проводится следующее
различие: в непрерывном пространстве, в котором движется тело,
существует бесконечное число половин расстояний, но потенциально, а не в
действительности. В этом заключается важность вклада Аристотеля, так
как начиная с этого момента возникли две различные трактовки
бесконечности, в определенном смысле несовместимые: так называемая
потенциальная и актуальная бесконечность, о которых мы говорили в
предыдущей главе. Мы
очень часто определяем, что верно, а что нет, руководствуясь здравым
смыслом, основанным на чувствах, которые, говоря языком современных
технологий, можно определить как средства фиксации и обработки
окружающей нас реальности. Нечто
является разумным в той степени, в которой на это указывают наши
ощущения. Сколь парадоксальным ни казался бы нам полет стрелы, органы
чувств ясно указывают, что стрела отдаляется от нас. Разумеется, Зенону
это было прекрасно известно, но ему также было известно, что чувства не
всегда могут служить надежной опорой разуму. Он
рассуждал так: подобно тому, как у вещи либо есть размеры, либо нет,
предмет издает или не издает звук. Корзина, полная зерен пшеницы, издает
определенный звук, когда мы тянем ее по земле. Зенон задавался
вопросом: издает ли звук одно-единственное зерно? Если да, то издает ли
звук половина зерна? Как можно предположить, если и далее
последовательно делить зерно на части, наступит момент, когда этот звук
будет неразличим. Исходя из этого факта, можно утверждать, что сумма
элементов, равных нулю, всегда будет нулевой, то есть если мы соберем
вместе множество предметов, не издающих звук, то и их совокупность также
не будет издавать звуков. Целью
Зенона было показать, что в определенных рассуждениях мы не можем
доверять нашим органам чувств — они должны уступить место интуиции, что
часто и происходит при математических рассуждениях. Однако, как вы
увидите далее на примере теорий Кантора, интуиция также может быть
обманчивой, и мы не можем руководствоваться ею тогда, когда
бесконечность является реальным объектом, с которым можно работать так
же, как с натуральными числами. Зенон
считал, что нечто может состоять из бесконечного числа элементарных
частей только тогда, когда каждая из этих частей не имеет размера: в
противном случае эти части можно разделить, и они не могут считаться
элементарными. Однако если части объекта не имеют размеров, то не имеет
размеров и сам объект, так как сумма величин, не имеющих размера, также
не может иметь размер. Так
греки определили термин «апейрон», который пришел на смену понятию
«бесконечность». Апейрон означал отсутствие четко определенного предела.
Это соответствовало идее, согласно которой предмет бесконечен,
поскольку может иметь сколь угодно большие размеры. Апейрон не
относился, например, к бесконечному числовому ряду, в котором не
существует последнего числа. Аналогичным образом определялись бесконечно
малые величины, которые могут иметь сколь угодно малые размеры. Этому
понятию было дано строгое определение в математическом анализе лишь в
XIX веке.
И
