Кто-нибудь
хоть раз видел две параллельные прямые? Можно с уверенностью сказать:
«Нет». На этот вопрос очень просто ответить, особенно если ему
предшествует вопрос, на который также можно ответить категорическим нет:
«Кто-нибудь хоть раз видел прямую?» Ее никто никогда не видел, так как
прямая бесконечна. Максимум, что можно представить, — это отрезок
прямой, пусть даже очень длинный, но не бесконечный. Если говорить о
параллельных прямых, то максимум, что мы можем увидеть, — это
изображение в перспективе, которое мы видим, когда смотрим на очень
длинный участок, например, железнодорожных путей. Но мы видим (или же
нам кажется) две прямые, которые сходятся в удаленной точке,
расположенной на горизонте. Эту точку, в которой, как нам кажется,
сходятся прямые, можно считать оптической иллюзией, так как ее нельзя
достичь, сколько бы мы ни ехали вперед. С этой ситуацией ежедневно
сталкивается, например, машинист скоростного поезда, когда движется в
направлении бесконечности со скоростью триста километров в час. Можно
быть уверенным, что преследование точки на бесконечности имеет столько
же смысла, сколько погоня за собственной тенью.
Что
произойдет, если параллельных прямых будет не две, а три, десять,
двадцать? Мы получим то, что в геометрии называется пучком прямых, и,
что более важно, определим направление. Представим, что в нашей
плоскости мы рассматриваем точку на бесконечности (одну из точек, в
которых сходятся две параллельные прямые). Каждой из этих точек мы можем
присвоить направление на плоскости.
В
этом случае все точки на бесконечности будут представлять различные
направления на плоскости. Прямую, образованную этими бесконечно
удаленными точками, можно назвать бесконечно удаленной прямой. Так мы
несколько примитивным способом представили читателю один из
интереснейших и красивейших разделов математики — проективную геометрию.
Ее
основная идея заключается в том, что две параллельные прямые или две
параллельные плоскости (в аффинной геометрии они объединены общим
термином «многообразие») не имеют общих точек. Единственное, что их
объединяет, — общее направление. Это поняли уже геометры Возрождения,
так как они работали с представлениями в трехмерном пространстве.
Идея
использовать бесконечно удаленную точку принадлежит Иоганну Кеплеру
(1571–1630), который стремился создать единую теорию конических сечений
(он расположил второй фокус параболы на бесконечности). Более
систематически эту идею изложил Жирар Дезарг (1591–1661), которого можно
считать одним из отцов-основателей проективной геометрии, получившей
полноценное развитие лишь в XIX веке усилиями французского математика
Гаспара Монжа (1746–1818). | 