Первые математические труды Готфрида Лейбница (1646–1716) были посвящены комбинаторике. В них уже проявилась гениальность ученого, однако они были устаревшими и имели определенные черты, характерные для средневековой науки, которой в немецких университетах той эпохи уделялось большое внимание. В 1672 году Лейбниц отправился в Париж с важной дипломатической миссией. Именно тогда основным родом его занятий стала математика — отчасти это произошло под влиянием Христиана Гюйгенса, который познакомил Лейбница с последними математическими открытиями.

В этот период Лейбниц пишет первые работы, посвященные суммам бесконечных рядов. Одним из наиболее примечательных результатов стал полученный им и названный в его честь ряд, в котором устанавливается неожиданная связь между числом 71 и нечетными числами:

Несомненно, важнейшими работами Лейбница стали его труды по анализу бесконечно малых, положившие начало важнейшему разделу математики — математическому анализу. Неоценимую роль сыграли верно выбранные обозначения. Так, с помощью знаков d и 

Прыжком Лейбница был переход от дискретного к непрерывному. Комбинаторика, которой он владел в совершенстве, — это дискретный мир, но мир функций и кривых является не дискретным, а непрерывным, и именно при переходе от одного к другому проявился математический гений и смелость Лейбница, так как он смог преобразовать неделимые Кавальери в новую математическую сущность — бесконечно малые, для чего создал особые алгоритмы. Рассмотрим ключевой элемент созданного Лейбницем анализа бесконечно малых, изложенный в упрощенном виде на языке современной математики.

* * *

* * *

Нам известно, что прямая определяется двумя точками, но она также может определяться одной точкой и углом наклона. Например, прямые r₁ и r₂, проходящие через начало координат, определяются углами наклона α и β соответственно.

Мы говорим об угле наклона не только применительно к математическому анализу, но и в повседневной жизни, например когда речь идет об угле наклона на участке автомагистрали.

С помощью транспортира можно узнать конкретную величину угла, например 24°. Другой способ измерить угол состоит в определении его тангенса. В прямоугольном треугольнике АВС тангенсом угла называется отношение длины противолежащего катета к прилежащему.

* * *

* * *

Будем обозначать тангенс буквами tg: tg(α) = АВ/СВ.

Теперь предположим, что дана непрерывная кривая (то есть ее можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги) у = f(х) и мы хотим найти касательную к этой кривой в ее произвольной точке, которую обозначим Р. Как мы уже говорили, прямая определяется точкой и углом наклона. Точка Р уже известна, и единственное, что осталось найти, — угол наклона искомой прямой. Лейбниц в качестве основы всех своих вычислений использовал построение треугольника, который он называл характеристическим треугольником. По сути, этот треугольник стал краеугольным элементом анализа бесконечно малых.

Обозначим координаты точки Р через х и у. Теперь выберем точку Q кривой и обозначим ее координаты х + Δх, у + Δу. Нетрудно показать, что угол наклона прямой, проходящей через точки Р и Q, определяется как tg(α) = Δу/Δх. Если теперь мы приблизим точку Q к точке Р, ничего особенно не изменится — просто уменьшатся Δх и Δу. Это приближение можно осуществлять непрерывно, так что упомянутые нами изменения х и у будут сколь угодно малыми. В определенный момент они станут достаточно малыми, чтобы ими можно было пренебречь, то есть они не будут влиять на результат. Эти бесконечно малые величины Лейбниц назвал дифференциалами, dx и dy соответственно.

При непрерывном приближении точки Q к точке Р прямая, соединяющая эти точки, приближается к касательной кривой в точке Р так, что искомый угол наклона α можно будет получить из формулы

Когда расстояние между Р и Q станет бесконечно малым, будет выполняться условие

* * *

* * *

Этот прямоугольный треугольник, катетами которого являются dx и dy, является тем характеристическим треугольником, о котором мы говорили выше. По сути, его катеты бесконечно малой длины совпадают со сторонами многоугольника с бесконечным числом сторон, в виде которого можно представить исходную кривую. Основная разница между этими величинами заключается в том, что Лейбниц работает с ними как с числами (с некоторыми ограничениями) и использует их для получения конкретных результатов. С их помощью ему даже удалось решить задачу о квадратуре, то есть вычислить площадь, ограниченную кривой. Говоря проще, если площадь некоторой фигуры состоит из дифференциалов, достаточно сложить их, чтобы узнать искомую площадь (в этом смысле дифференцирование и интегрирование являются обратными операциями).

Потрет Гэтфрида Лейбница в возрасте приблизительно пятидесяти четырех лет.

* * *

Храм братства Розы и Креста, рисунок из книги Теофилуса Швейгхардта Константиенса, 1618 год.

* * *

Бесконечно малые величины не были с восторгом приняты математиками той эпохи. Характеристический треугольник использовался в рассуждениях, но так и не получил строгого определения. Он лишь представлял нечто происходящее в загадочном и непонятном мире бесконечно малых, и его использование предполагало принятие актуальной бесконечности, как бы ученые ни стремились этого избежать.

Кроме того, следовало каким-то образом уйти от архимедовского принципа сравнения величин, и Паскаль, Лопиталь, Бернулли и сам Лейбниц в итоге стали рассматривать бесконечно малые как особые величины, которые в определенных условиях равняются нулю. Лейбниц неспроста дал своей работе название «О скрытой геометрии и анализе неделимых и бесконечных величин».