Мы знакомимся с потенциальной бесконечностью уже в первые годы обучения в школе. Бесконечность связана с понятием счета и, следовательно, с натуральным рядом, а также с циклическими процессами, связанными с течением времени: за днем следует ночь, за ночью — день и т. д. Наши представления о бесконечности обычно остаются неизменными, и если они вступают в противоречие с интуицией, то это не ведет к каким-то заметным потрясениям. В действительности же они остаются более или менее неизменными потому, что мы редко используем их при решении каких-то сложных задач.

С актуальной бесконечностью дело обстоит совершенно иначе: она фигурирует во многих математических задачах, причем появляется внезапно, не оставляя времени на подготовку, поэтому неизбежно возникают противоречия, которые порой очень сложно преодолеть. Этот конфликт проявляется особенно остро, когда мы начинаем изучать математический анализ. Были проведены и до сих пор ведутся исследования, цель которых — определить, как и когда следует объяснять фундаментальные понятия при изучении математики и, в частности, математического анализа.

Для неспециалистов поясним, что математический анализ обычно начинают преподавать в старших классах, затем он изучается в течение двух-трех лет практически на всех технических факультетах вузов.

* * *

* * *

Попытка включить теорию множеств в курс средней школы в рамках программы современной математики, по мнению многих преподавателей, оказалась неудачной.

Возможно, причина в том, что теория множеств представляет для математиков интерес в качестве теоретической базы, но сама по себе недостаточно широко применяется на практике. В результате большинство преподавателей ограничивались объяснением самых основ, в частности понятия принадлежности к множеству или включения множеств, которые интуитивно понятны и не требуют какого-то особого математического языка. Напротив, как вы увидите в следующих главах этой книги, понятие мощности множества (числа элементов множества) представляет особый интерес, особенно когда рассматривается мощность бесконечных множеств. В этом случае речь всегда идет об актуальной бесконечности, и возникает противоречие со здравым смыслом, так как в теории множеств рассматриваются множества, части которых равны целому. А ведь эту идею отверг еще Евклид в «Началах», категорически заявив, что «целое больше, чем его часть», и звучит это совершенно логично.

Еще одно противоречие возникает, когда выясняется, что ограниченные множества могут быть бесконечными, так как в нашем представлении бесконечность не имеет границ.

Как вы увидите далее, элементарная логика, или то, что порой называют интуицией, может обмануть, когда речь идет об актуальной бесконечности. Причина в том, что при рассмотрении некоторых понятий мы не до конца понимаем их и многое принимаем на веру. Трудности, возникающие у студентов-математиков при изучении актуальной бесконечности, сравнимы с трудностями, которые испытывают студенты-физики при изучении квантовой механики. Классический пример из квантовой механики выглядит так. Допустим, у нас есть ящик с двумя отверстиями, в котором находится шар. Если мы будем перемещать ящик произвольным образом, можно ожидать, что шар выпадет из него через одно из двух отверстий. При определенных перемещениях мы даже сможем вычислить вероятность того, что он выпадет через конкретное отверстие. Намного сложнее представить, что шар выпадет через оба отверстия одновременно. Но в квантовой физике такой вариант возможен, хотя он полностью противоречит интуиции. Речь не идет о том, чтобы понять это явление само по себе, так как всем известно, что означает: «шар выпадает через два отверстия сразу». Правильнее было бы сказать «я не верю» вместо «я не понимаю».

Нечто подобное происходит и с актуальной бесконечностью. Когда мы говорим, что крошечный отрезок прямой содержит бесконечное множество точек, мы понимаем, о чем идет речь. Другое дело, верим мы в это или нет.

* * *

«ИСЧИСЛЕНИЕ ПЕСЧИНОК» АРХИМЕДА

Слова для обозначения больших чисел (миллион, миллиард и т. д.) были введены французским математиком Никола Шюке (ок. 1445–1488) в 1484 году. Суффиксом — иллион он обозначал число М = 10⁶  (в этой системе обозначений M1 — миллион, М2 — биллион, М3 — триллион и т. д.). В системах счисления древности очень большие числа обычно не рассматривались.

В древнегреческой системе счисления максимально возможным числом было 100 миллионов.

Архимед создал знаменитый трактат по арифметике под названием «Исчисление песчинок», в котором, помимо прочего, привел теоретические подсчеты общего числа песчинок на Земле. Его истинной целью было показать, что возможно создать систему счисления для подсчета объектов, которых, как может показаться, бесконечно много, но в действительности это не так.

Система Архимеда была основана на последовательных степенях мириады (Ω), равной 10000.

Максимально возможное число в этой системе счисления равнялось