Среда, 27.01.2021, 19:03
Ш  К  О  Л  А     П  И  Ф  А  Г  О  Р  А
      Предмет математики настолько серьезен, что нужно
не упускать случая, сделать его немного занимательным".
                                                                           Блез Паскаль
Главная | Регистрация | Вход Приветствую Вас Гость | RSS
ПАМЯТКИ ПО МАТЕМАТИКЕ   ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ   ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ   МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
УРОКИ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛЕ


МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КЛАДОВАЯ


В МИРЕ ЗАДАЧ
ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
МАТЕМАТИКА В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ
ВАРИ, КОТЕЛОК!
УДИВИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
В МИРЕ ИНТЕРЕСНОГО
Категории раздела
ПРОСТЫЕ ЧИСЛА. ДОЛГАЯ ДОРОГА К БЕСКОНЕЧНОСТИ [37]
КОГДА ПРЯМЫЕ ИСКРИВЛЯЮТСЯ. НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ [23]
МУЗЫКА СФЕР. АСТРОНОМИЯ И МАТЕМАТИКА [57]
МАГИЯ ЧИСЕЛ. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МЫСЛЬ ОТ ПИФАГОРА ДО НАШИХ ДНЕЙ [27]
ИНВЕРСИЯ [20]
ИСТИНА В ПРЕДЕЛЕ. АНАЛИЗ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ [47]
БЕСКОНЕЧНОСТЬ В МАТЕМАТИКЕ [43]
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ЕЕ ПАРАДОКСЫ [6]
ИЗМЕРЕНИЕ МИРА. КАЛЕНДАРИ, МЕРЫ ДЛИНЫ И МАТЕМАТИКА [33]
АБСОЛЮТНАЯ ТОЧНОСТЬ И ДРУГИЕ ИЛЛЮЗИИ. СЕКРЕТЫ СТАТИСТИКИ [31]
КОДИРОВАНИЕ И КРИПТОГРАФИЯ [47]
МАТЕМАТИКА В ЭКОНОМИКЕ [39]
ИСКУССТВЕННЫЙ ИНТЕЛЛЕКТ И МАТЕМАТИКА [35]
ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ. ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ НАШ МИР ТЕНЬЮ ДРУГОЙ ВСЕЛЕННОЙ? [9]
ТВОРЧЕСТВО В МАТЕМАТИКЕ [44]
ЗАГАДКА ФЕРМА. ТРЕХВЕКОВОЙ ВЫЗОВ МАТЕМАТИКЕ [30]
ТАЙНАЯ ЖИЗНЬ ЧИСЕЛ. ЛЮБОПЫТНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ [95]
АЛГОРИТМЫ И ВЫЧИСЛЕНИЯ [17]
КАРТОГРАФИЯ И МАТЕМАТИКА [38]
ПОЭЗИЯ ЧИСЕЛ. ПРЕКРАСНОЕ И МАТЕМАТИКА [23]
ТЕОРИЯ ГРАФОВ [33]
НАУКА О ПЕРСПЕКТИВЕ [29]
ЧИСЛА - ОСНОВА ГАРМОНИИ. МУЗЫКА И МАТЕМАТИКА [15]
Статистика

Онлайн всего: 19
Гостей: 19
Пользователей: 0
Форма входа

Главная » Файлы » МИР МАТЕМАТИКИ » БЕСКОНЕЧНОСТЬ В МАТЕМАТИКЕ

Анализ бесконечно малых
27.05.2015, 23:42

Почему он называется анализом и какое отношение к нему имеют бесконечно малые? Понятие «анализ» указывает, что в математическом анализе решение задачи рассматривается как рабочая гипотеза, после чего проводится анализ того, каким образом стало возможным прийти к этому решению. Одним из наиболее выдающихся ученых, которые использовали этот метод, был Декарт, а истоки метода восходят ко временам Евклида.

Название «анализ бесконечно малых» объясняется использованием величин, связанных с геометрическими элементами. Эти величины делятся произвольное число раз (бесконечное деление), а затем рассматриваются как основные и неделимые составляющие всего. Как вы уже поняли, анализ бесконечно малых восходит к знаменитому методу исчерпывания, придуманному Евдоксом, и был систематически описан математиками XVII столетия, в частности Робервалем, Барроу, Ньютоном и Лейбницем.

Отметим еще одно важное совпадение. С одной стороны, математика к тому времени превратилась в самостоятельную дисциплину в том смысле, что в ней не использовались модели природы. Скорее наоборот: это природа должна была адаптироваться к математике, что следовало понимать не как гипотезу, а как методологию, позволяющую создать прочную теорию, которая, разумеется, должна была найти практическое применение. Пример: с помощью методов анализа стало возможным определить, что траектория снаряда представляет собой параболу — геометрическую фигуру, четко определенную на языке функций. Наиболее вероятно, что траектория снаряда не является идеальной параболой, но, перефразируя Торричелли, «тем хуже для снаряда».

Другой важный момент — появление в теоретической физике двух новых понятий: тело и материальная точка. Первое ввел Декарт, а второе — Ньютон. Яблоко, которое якобы упало на голову Ньютону, было не спелым фруктом, приятным на вкус, а телом конкретных размеров, которое методами анализа можно свести к материальной точке.

Также следует учитывать, что в то время физика носила ярко выраженный прикладной характер: ее задачи имели исключительно практическую направленность.

Например, известный оптический закон о том, что угол падения луча равен углу его отражения, очень важен при конструировании оптических приборов, однако эти углы отсчитываются от нормали, проведенной к отражающей поверхности в заданной точке. Если эта поверхность является прямой, к ней достаточно провести перпендикуляр в заданной точке, но если речь идет о криволинейной поверхности, как в большинстве оптических инструментов, то возникает интересная геометрическая задача. Как показано на рисунке, нормаль к криволинейной поверхности в точке — это прямая, перпендикулярная касательной к кривой в заданной точке, но алгоритм построения касательной к произвольной кривой в то время был неизвестен.

Том 18. Открытие без границ. Бесконечность в математике - _49.jpg

Касательная «прикасается» к кривой в единственной точке. Перпендикуляр к касательной в этой точке, по определению, является нормалью к кривой.

Еще один пример связан с нахождением максимумов и минимумов. Вернемся к примеру со снарядом. Очевидна необходимость вычисления максимальной дальности полета снаряда (а в некоторых случаях — максимальной высоты) в зависимости от угла наклона орудия.

Следующие четыре нерешенные задачи предопределили зарождение математического анализа, или анализа бесконечно малых:

— построение касательной к кривой в точке;

— расчет максимумов и минимумов функции;

— расчет квадратур, то есть вычисление площади, ограниченной одной или несколькими кривыми;

— спрямление кривых, то есть вычисление длины кривой между двумя ее точками.

Во всех этих задачах присутствуют бесконечно малые величины.

Ньютон и Лейбниц считаются родоначальниками математического анализа, в котором они систематизировали знания, накопленные их предшественниками. Они следовали разными путями, и им обоим пришлось столкнуться с загадками бесконечности, которые они решили каждый по-своему.

* * *

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ЭЙЛЕРА

С помощью интегралов можно рассчитывать не только площади плоских фигур, но также длины кривых, объемы тел, ограниченных произвольными поверхностями, и тел вращения. В общем случае интегралы позволяют найти любое значение, выраженное в виде бесконечной суммы бесконечно малых величин, то есть почти все что угодно. Сфера практического применения интегралов столь широка, что они образуют отдельный раздел прикладной математики. Вне зависимости от того, где выполняется вычисление интегралов, на маленьких калькуляторах или в мощных компьютерных программах, сложно представить инженера, которому не требовалось бы интегральное ис числение. В 1770 году швейцарский математик Леонард Эйлер (1707–1783) создал трехтомный труд по интегральному исчислению. В некотором смысле все современные книги по математическому анализу являются всего лишь измененными и обновленными изданиями этого труда, в котором даже спустя 150 лет после публикации никто не смог найти ни единого недочета. По этой причине «Интегральное исчисление» Эйлера считается важнейшей работой по математическому анализу из когда-либо написанных.


Том 18. Открытие без границ. Бесконечность в математике - _50.jpg

Обложка первого тома «Интегрального исчисления» Эйлера.

Категория: БЕСКОНЕЧНОСТЬ В МАТЕМАТИКЕ | Добавил: admin | Теги: Мир Математики, бесконечность в математике, занимательная математика, непрерывность, дидактический материал по математик, популярная математика
Просмотров: 550 | Загрузок: 0 | Рейтинг: 0.0/0
УЧИТЕЛЮ ИНФОРМАТИКИ
КОНСПЕКТЫ УРОКОВ
ВНЕКЛАССНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ПОСОБИЯ И МЕТОДИЧКИ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ
ЗАДАНИЯ ШКОЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ


ИНФОРМАТИКА В ШКОЛЕ


ИНФОРМАТИКА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ
ИНФОРМАТИКА В 3 КЛАССЕ
ИНФОРМАТИКА В 4 КЛАССЕ
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 3 КЛАСС
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. 4 КЛАСС
ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДЛЯ ДЕТЕЙ
СКАЗКА "ПРИКЛЮЧЕНИЯ ЭЛЕКТРОШИ"
ИГРОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ НА УРОКАХ ИНФОРМАТИКИ
ИГРОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ВИКТОРИНЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ
КОМПЬЮТЕРНЫЕ ЧАСТУШКИ
ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ
Поиск


Друзья сайта
  • Создать сайт
  • Все для веб-мастера
  • Программы для всех
  • Мир развлечений
  • Лучшие сайты Рунета
  • Кулинарные рецепты

  • Copyright MyCorp © 2021
    Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru